Углов треугольника всегда. Сумма углов треугольника

Треугольник. Остроугольный, тупоугольный и прямоугольный треугольник.

Катеты и гипотенуза. Равнобедренный и равносторонний треугольник.

Внешний угол треугольника. Признаки равенства треугольников.

Замечательные линии и точки в треугольнике: высоты, медианы,

биссектрисы,срединны e перпендикуляры, ортоцентр,

центр тяжести, центр описанного круга, центр вписанного круга.

Теорема Пифагора. Соотношение сторон в произвольномтреугольнике.

Треугольник – это многоугольник с тремя сторонами (или тремя углами). Стороны треугольника обозначаются часто малыми буквами, которые соответствуют заглавным буквам, обозначающим противоположные вершины.

Если все три угла острые (рис.20 ), то это остроугольный треугольник . Если один из углов прямой ( C, рис.21), то это прямоугольный треугольник ; стороны a , b , образующие прямой угол, называются катетами ; сторона c , противоположная прямому углу, называется гипотенузой . Если один из углов тупой ( B, рис.22), то это тупоугольный треугольник.

Треугольник ABC (рис.23) - равнобедренный , если две его стороны равны (a = c ); эти равные стороны называются боковыми , третья сторона называется основанием треугольника. Треугольник ABC (рис.24) – равносторонний , если все его стороны равны (a = b = c ). В общем случае (a ≠ b ≠ c ) имеем неравносторонний треугольник.

Основные свойства треугольников. В любом треугольнике:

1. Против большей стороны лежит больший угол, и наоборот.

2. Против равных сторон лежат равные углы, и наоборот.

В частности, все углы в равностороннем треугольнике равны.

3. Сумма углов треугольника равна 180 º .

Из двух последних свойств следует, что каждый угол в равностороннем

треугольнике равен 60 º.

4. Продолжая одну из сторон треугольника (AC, рис.25), получаем внешний

угол BCD. Внешний угол треугольника равен сумме внутренних углов,

не смежных с ним : BCD = A + B.

5. Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон и больше

их разности (a < b + c , a > b – c ;b < a + c , b > a – c ;c < a + b ,c > a – b ).

Признаки равенства треугольников.

Треугольники равны, если у них соответственно равны:

a ) две стороны и угол между ними;

b ) два угла и прилегающая к ним сторона;

c ) три стороны.

Признаки равенства прямоугольных треугольников.

Д ва прямоугольных треугольника равны, если выполняется одно из следующих условий:

1) равны их катеты;

2) катет и гипотенуза одного треугольника равны катету и гипотенузе другого;

3) гипотенуза и острый угол одного треугольника равны гипотенузе и острому углу другого;

4) катет и прилежащий острый угол одного треугольника равны катету и прилежащему острому углу другого;

5) катет и противолежащий острый угол одного треугольника равны катету и противолежащему острому углу другого.

Замечательные линии и точки в треугольнике.

Высота треугольника - это перпендикуляр, опущенный из любой вершины на противоположную сторону ( или её продолжение ). Эта сторона называется основанием треугольника . Три высоты треугольника всегда пересекаются в одной точке , называемой ортоцентром треугольника. Ортоцентр остроугольного треугольника (точка O , рис.26) расположен внутри треугольника, а ортоцентр тупоугольного треугольника (точка O , рис.27) – снаружи; ортоцентр прямоугольного треугольника совпадает с вершиной прямого угла.

Медиана – это отрезок , соединяющий любую вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Три медианы треугольника (AD , BE , CF , рис.28) пересекаются в одной точке O , всегда лежащей внутри треугольника и являющейся его центром тяжести. Эта точка делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Биссектриса – это отрезок биссектрисы угла от вершины до точки пересечения с противоположной стороной. Три биссектрисы треугольника (AD , BE , CF , рис.29) пересекаются в одной точке О, всегда лежащей внутри треугольника и являющейся центром вписанного круга (см. раздел «Вписанные и описанные многоугольники»).

Биссектриса делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилегающим сторонам ; например, на рис.29 AE : CE = AB : BC .

Срединный перпендикуляр – это перпендикуляр, проведенный из средней точки отрезка (стороны). Три срединных перпендикуляра треугольника АВС (KO , MO , NO , рис.30 ) пересекаются в одной точке О, являющейся центром описанного круга (точки K , M , N – середины сторон треугольника ABC ).

В остроугольном треугольнике эта точка лежит внутри треугольника; в тупоугольном – снаружи; в прямоугольном - в середине гипотенузы. Ортоцентр, центр тяжести, центр описанного и центр вписанного круга совпадают только в равностороннем треугольнике.

Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Доказательство теоремы Пифагора с очевидностью следует из рис.31. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с катетами a , b и гипотенузой c .

Построим квадрат AKMB , используя гипотенузу AB как сторону. Затем продолжим стороны прямоугольного треугольника ABC так, чтобы получить квадрат CDEF , сторона которого равна a + b . Теперь ясно, что площадь квадрата CDEF равна (a + b ) 2 . С другой стороны, эта площадь равна сумме площадей четырёх прямоугольных треугольников и квадрата AKMB , то есть

c 2 + 4 (ab / 2) = c 2 + 2 ab ,

отсюда ,

c 2 + 2 ab = (a + b ) 2 ,

и окончательно имеем:

c 2 = a 2 + b 2 .

Соотношение сторон в произвольном треугольнике.

В общем случае (для произвольного треугольника) имеем:

c 2 = a 2 + b 2 – 2ab · cos C,

где C – угол между сторонами a и b .

Треугольник представляет собой многоугольник, имеющий три стороны (три угла). Чаще всего стороны обозначают маленькими буквами, соответствующими заглавным буквам, которыми обозначают противоположные вершины. В данной статье мы ознакомимся с видами этих геометрических фигур, теоремой, которая определяет, чему равняется сумма углов треугольника.

Виды по величине углов

Различают следующие виды многоугольника с тремя вершинами:

остроугольный, у которого все углы острые;
прямоугольный, имеющий один прямой угол, при его образующие, называют катетами, а сторона, которая размещена противоположно прямому углу, именуется гипотенузой;
тупоугольный, когда один ;
равнобедренный, у которого две стороны равные, и называются они боковыми, а третья - основанием треугольника;
равносторонний, имеющий все три равные стороны.

Свойства

Выделяют основные свойства, которые характерны для каждого вида треугольника:

напротив большей стороны всегда располагается больший угол, и наоборот;
напротив равных по величине сторон находятся равные углы, и наоборот;
у любого треугольника есть два острых угла;
внешний угол больше по сравнению с любым внутренним углом, не смежным с ним;
сумма каких-либо двух углов всегда меньше 180 градусов;
внешний угол равняется сумме остальных двух углов, которые не межуют с ним.

Теорема о сумме углов треугольника

Теорема утверждает, что если сложить все углы данной геометрической фигуры, которая расположена на евклидовой плоскости, то их сумма будет составлять 180 градусов. Попробуем доказать данную теорему.

Пускай у нас есть произвольный треугольник с вершинами КМН.

Через вершину М проведем КН (еще эту прямую называют прямой Евклида). На ней отметим точку А таким образом, чтоб точки К и А были расположены с разных сторон прямой МН. Мы получаем равные углы АМН и КНМ, которые, как и внутренние, лежат накрест и образовываются секущей МН совместно с прямыми КН и МА, которые являются параллельными. Из этого следует, что сумма углов треугольника, расположенных при вершинах М и Н, равняется размеру угла КМА. Все три угла составляют сумму, которая равна сумме углов КМА и МКН. Поскольку данные углы являются внутренними односторонними относительно параллельных прямых КН и МА при секущей КМ, их сумма составляет 180 градусов. Теорема доказана.

Следствие

Из выше доказанной теоремы вытекает следующее следствие: любой треугольник имеет два острых угла. Чтобы это доказать, допустим, что данная геометрическая фигура имеет всего один острый угол. Также можно предположить, что ни один из углов не является острым. В этом случае должно быть как минимум два угла, величина которых равна или больше 90 градусов. Но тогда сумма углов будет больше, чем 180 градусов. А такого быть не может, поскольку согласно теореме сумма углов треугольника равна 180° - не больше и не меньше. Вот это и нужно было доказать.

Свойство внешних углов

Чему равна сумма углов треугольника, которые являются внешними? Ответ на этот вопрос можно получить, применив один из двух способов. Первый заключается в том, что необходимо найти сумму углов, которые взяты по одному при каждой вершине, то есть трех углов. Второй подразумевает, что нужно найти сумму всех шести углов при вершинах. Для начала разберемся с первым вариантом. Итак, треугольник содержит шесть внешних углов - при каждой вершине по два.

Каждая пара имеет равные между собой углы, поскольку они являются вертикальными:

∟1 = ∟4, ∟2 = ∟5, ∟3 = ∟6.

Кроме этого, известно, что внешний угол у треугольника равняется сумме двух внутренних, которые не межуются с ним. Следовательно,

∟1 = ∟А + ∟С, ∟2 = ∟А + ∟В, ∟3 = ∟В + ∟С.

Из этого получается, что сумма внешних углов, которые взяты по одному возле каждой вершины, будет равна:

∟1 + ∟2 + ∟3 = ∟А + ∟С + ∟А + ∟В + ∟В + ∟С = 2 х (∟А + ∟В + ∟С).

С учетом того, что сумма углов равняется 180 градусам, можно утверждать, что ∟А + ∟В + ∟С = 180°. А это значит, что ∟1 + ∟2 + ∟3 = 2 х 180° = 360°. Если же применяется второй вариант, то сумма шести углов будет, соответственно, большей в два раза. То есть сумма внешних углов треугольника будет составлять:

∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6 = 2 х (∟1 + ∟2 + ∟2) = 720°.

Прямоугольный треугольник

Чему равняется сумма углов прямоугольного треугольника, являющихся острыми? Ответ на этот вопрос, опять же, вытекает из теоремы, которая утверждает, что углы в треугольнике в сумме составляют 180 градусов. А звучит наше утверждение (свойство) так: в прямоугольном треугольнике острые углы в сумме дают 90 градусов. Докажем его правдивость.

Пускай нам дан треугольник КМН, у которого ∟Н = 90°. Необходимо доказать, что ∟К + ∟М = 90°.

Итак, согласно теореме о сумме углов ∟К + ∟М + ∟Н = 180°. В нашем условии сказано, что ∟Н = 90°. Вот и получается, ∟К + ∟М + 90° = 180°. То есть ∟К + ∟М = 180° - 90° = 90°. Именно это нам и следовало доказать.

В дополнение к вышеописанным свойствам прямоугольного треугольника, можно добавить и такие:

углы, которые лежат против катетов, являются острыми;
гипотенуза треугольна больше любого из катетов;
сумма катетов больше гипотенузы;
катет треугольника, который лежит напротив угла 30 градусов, в два раза меньше гипотенузы, то есть равняется ее половине.

Как еще одно свойство данной геометрической фигуры можно выделить теорему Пифагора. Она утверждает, что в треугольнике с углом 90 градусов (прямоугольном) сумма квадратов катетов равняется квадрату гипотенузы.

Сумма углов равнобедренного треугольника

Ранее мы говорили, что равнобедренным называют многоугольник с тремя вершинами, содержащий две равные стороны. Известно такое свойство данной геометрической фигуры: углы при его основании равны. Докажем это.

Возьмем треугольник КМН, который является равнобедренным, КН - его основание.

От нас требуется доказать, что ∟К = ∟Н. Итак, допустим, что МА - это биссектриса нашего треугольника КМН. Треугольник МКА с учетом первого признака равенства равен треугольнику МНА. А именно по условию дано, что КМ = НМ, МА является общей стороной, ∟1 = ∟2, поскольку МА - это биссектриса. Используя факт равенства этих двух треугольников, можно утверждать, что ∟К = ∟Н. Значит, теорема доказана.

Но нас интересует, какова сумма углов треугольника (равнобедренного). Поскольку в этом отношении у него нет своих особенностей, будем отталкиваться от теоремы, рассмотренной ранее. То есть мы можем утверждать, что ∟К + ∟М + ∟Н = 180°, или 2 х ∟К + ∟М = 180° (поскольку ∟К = ∟Н). Данное свойство доказывать не будем, поскольку сама теорема о сумме углов треугольника была доказана ранее.

Кроме рассмотренных свойств об углах треугольника, имеют место и такие немаловажные утверждения:

в которая была опущена на основание, является одновременно медианой, биссектрисой угла, который находится между равными сторонами, а также его основания;
медианы (биссектрисы, высоты), которые проведены к боковым сторонам такой геометрической фигуры, равны.

Равносторонний треугольник

Его еще называют правильным, это тот треугольник, у которого равны все стороны. А поэтому равны также и углы. Каждый из них составляет 60 градусов. Докажем это свойство.

Допустим, что у нас есть треугольник КМН. Нам известно, что КМ = НМ = КН. А это значит, что согласно свойству углов, расположенных при основании в равнобедренном треугольнике, ∟К = ∟М = ∟Н. Поскольку согласно теореме сумма углов треугольника ∟К + ∟М + ∟Н = 180°, то 3 х ∟К = 180° или ∟К = 60°, ∟М = 60°, ∟Н = 60°. Таким образом, утверждение доказано.

Как видно из выше приведенного доказательства на основании теоремы, сумма углов как и сумма углов любого другого треугольника, составляет 180 градусов. Снова доказывать эту теорему нет необходимости.

Существуют еще такие свойства, характерные для равностороннего треугольника:

медиана, биссектриса, высота в такой геометрической фигуре совпадают, а их длина вычисляется как (а х √3) : 2;
если описать вокруг данного многоугольника окружность, то ее радиус будет равен (а х √3) : 3;
если вписать в равносторонний треугольник окружность, то ее радиус будет составлять (а х √3) : 6;
площадь этой геометрической фигуры вычисляется по формуле: (а2 х √3) : 4.

Тупоугольный треугольник

Согласно определению один из его углов находится в промежутке от 90 до 180 градусов. Но учитывая то, что два остальных угла данной геометрической фигуры острые, можно сделать вывод, что они не превышают 90 градусов. Следовательно, теорема о сумме углов треугольника работает при расчете суммы углов в тупоугольном треугольнике. Получается, мы смело можем утверждать, опираясь на вышеупомянутую теорему, что сумма углов тупоугольного треугольника равна 180 градусам. Опять-таки, данная теорема не нуждается в повторном доказательстве.

Разделы: Математика

Презентация . (Слайд 1)

Тип урока: урок изучения нового материала.

Цели урока:

Образовательные :
- рассмотреть теорему о сумме углов треугольника,
- показать применение теоремы при решении задач.
Воспитательные :
- воспитание положительного отношения учащихся к знаниям,
- воспитывать в учащихся средствами урока уверенность в своих силах.
Развивающие :
- развитие аналитического мышления,
- развитие «умений учиться»: использовать знания, умения и навыки в учебном процессе,
- развитие логического мышления, способности четко формулировать свои мысли.

Оборудование: интерактивная доска, презентация, карточки.

ХОД УРОКА

I. Организационный момент

– Сегодня на уроке мы вспомним определения прямоугольного, равнобедренного, равностороннего треугольников. Повторим свойства углов треугольников. Применяя свойства внутренних односторонних и внутренних накрест лежащих углов докажем теорему о сумме углов треугольника и научимся применять ее при решении задач.

II. Устно (Слайд 2)

1) Найти на рисунках прямоугольный, равнобедренный, равносторонний треугольники.
2) Дать определение этим треугольникам.
3) Сформулировать свойства углов равностороннего и равнобедренного треугольника.

4) На рисунке KE II NH. (слайд 3)

– Укажите секущие для этих прямых
– Найти внутренние односторонние углы, внутренние накрест лежащие углы, назвать их свойства

III. Объяснение нового материала

Теорема. Сумма углов треугольника равна 180 о

По формулировке теоремы, ребята строят чертеж, записывают условие, заключение. Отвечая на вопросы, самостоятельно доказывают теорему.

Дано:

Доказать:

Доказательство:

1. Через вершину В треугольника проведем прямую BD II AC.
2. Указать секущие для параллельных прямых.
3. Что можно сказать об углах CBD и ACB? (сделать запись)
4. Что мы знаем об углах CAB и ABD? (сделать запись)
5. Заменим угол CBD углом ACB
6. Сделать вывод.

IV. Закончи предложение. (Слайд 4)

1. Сумма углов треугольника равна …
2. В треугольнике один из углов равен, другой, третий угол треугольника равен …
3. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна …
4. Углы равнобедренного прямоугольного треугольника равны …
5. Углы равностороннего треугольника равны...
6. Если угол между боковыми сторонами равнобедренного треугольника равен 1000, то углы при основании равны …

V. Немного истории. (Слайды 5-7)

Доказательство теоремы о сумме углов треугольника «Сумма внутренних углов треугольника равна двум прямым» приписывают Пифагору (580-500 г.г. до н.э.)
Древнегреческий ученый Прокл (410-485 г.г. н.э.),

Вдогонку ко вчерашнему:

Играем с мозаикой под сказку по геометрии:

Жили-были треугольники. Такие похожие, что просто копия друг друга.
Стали они как-то рядышком на прямую линию. А так как были они все одного роста -
то и верхушки их были на одном уровне, под линеечку:

Треугольники любили кувыркаться и стоять на голове. Взобрались в верхний ряд и стали на уголок, как акробаты.
А мы уже знаем - когда они стоят верхушками ровно в линию,
то и подошвы у них тоже по линеечке - потому что если кто одного роста, то он и верх ногами одного роста!

Во всем они были одинаковые - и высота одинаковая, и подошвы один в один,
и горки по сторонам - одна круче, другая более пологая - по длине одинаковые
и наклон у них одинаковый. Ну просто близнецы! (только в разных одежках, у каждого свой кусочек пазла) .

- Где у треугольников одинаковые стороны? А где уголки одинаковые?

Постояли треугольники на голове, постояли, да и решили соскользнуть и улечься в нижнем ряду.
Заскользили и съехали как с горки; а горки-то у них одинаковые!
Вот и поместились аккурат между нижними треугольниками, без зазоров и никто никого не потеснил.

Огляделись треугольники и заметили интересную особенность.
Везде, где их углы вместе сошлись - непременно встретились все три угла:
самый большой - "угол-голова", самый острый угол и третий, средний по величине угол.
Они даже ленточки цветные повязали, что б сразу было заметно, где какой.

И получилось, что три угла треугольника, если их совместить -
составляют один большой угол, "угол нараспашку" - как обложка раскрытой книги,

______________________о ___________________

он так и называется: развернутый угол.

У любого треугольника - будто паспорт: три угла вместе равны развернутому углу.
Постучится к вам кто-нибудь: - тук-тук, я треугольник, пустите меня переночевать!
А вы ему - Предъяви-ка сумму углов в развернутом виде!
И сразу понятно - настоящий ли это треугольник или самозванец.
Не прошел проверку - Разворачивайся на сто восемьдесят градусов и ступай восвояси!

Когда говорят "повернуть на 180° - это значит развернуться задом наперед и
идти в обратном направлении.

То же самое в более привычных выражениях, без "жили были":

Совершим параллельный перенос треугольника АВС вдоль оси ОХ
на вектор АВ равный длине основания АВ.
Прямая, DF проходящая через вершины С и С 1 треугольников
параллельна оси ОХ, в силу того, что перпендикулярные оси ОХ
отрезки h и h 1 (высоты равных треугольников) равны.
Таким образом основание треугольника А 2 В 2 С 2 параллельно основанию АВ
и равно ему по длине (т.к. вершина С 1 смещена относительно С на величину АВ).
Треугольники А 2 В 2 С 2 и АВС равны по трем сторонам.
А стало быть углы ∠А 1 ∠В ∠С 2 , образующие развернутый угол, равны углам треугольника АВС.
=> Сумма углов треугольника равна 180°

С движениями - "трансляциями" так называемыми доказательство короче и наглядней,
на кусочках мозаики даже малышу может быть понятно.

Зато традиционное школьное:

опирающееся на равенство внутренних накрест-лежащих углов, отсекаемых на параллельных прямых

ценно тем, что дает представление о том - почему это так,
почему сумма углов треугольника равна развернутому углу?

Потому что иначе параллельные прямые не обладали бы привычными нашему миру свойствами.

Теоремы работают в обе стороны. Из аксиомы о параллельных прямых следует
равенство накрест лежащих и вертикальных углов, а из них - сумма углов треугольника.

Но верно и обратное: пока углы треугольника составляют 180° - существуют параллельные прямые
(такие, что через точку не лежащую на прямой можно провести единственную прямую || данной).
Если однажды в мире появится треугольник, у которого сумма углов не равна развернутому углу -
то параллельные перестанут быть параллельны, весь мир искривится и перекособочится.

Если полосы с орнаментом из треугольников расположить друг над другом -
можно покрыть все поле повторяющимся узором, будто пол плиткой:

можно обводить на такой сетке разные фигуры - шестиугольники, ромбы,
звездные многоугольники и получать самые разные паркеты

Замощение плоскости паркетами - не только занятная игра, но и актуальная математическая задача:

________________________________________ _______________________-------__________ ________________________________________ ______________
/\__||_/\__||_/\__||_/\__||_/\__|)0(|_/\__||_/\__||_/\__||_/\__||_/\=/\__||_/ \__||_/\__||_/\__||_/\__|)0(|_/\__||_/\__||_/\__||_/\__||_/\

Поскольку каждый четырехугольник - прямоугольник, квадрат, ромб и проч.,
может быть составлен из двух треугольников,
соответственно сумма углов четырехугольника: 180° + 180°= 360°

Одинаковые равнобедренные треугольники складываются в квадраты разными способами.
Маленький квадратик из 2-х частей. Средний из 4-х. И самый большой из 8-ми.
Сколько на чертеже фигур, состоящих из 6-ти треугольников?

Сумма углов треугольника - важная, но достаточно простая тема, которую проходят в 7 классе на геометрии. Тема состоит из теоремы, короткого доказательства и нескольких логичных следствий. Знание этой темы помогает в решении геометрических задач при последующем изучении предмета.

Теорема - чему равны сложенные между собой углы произвольного треугольника?

Теорема гласит - если взять любой треугольник вне зависимости от его вида, сумма всех углов неизменно составит 180 градусов. Доказывается это следующим образом:

для примера берут треугольник АВС, через расположенную на вершине точку В проводят прямую линию и обозначают ее, как «а», прямая «а» при этом строго параллельна стороне АС;
между прямой «а» и сторонами АВ и ВС обозначают углы, маркируя их цифрами 1 и 2;
угол 1 признают равным углу А, а угол 2 - равным углу С, поскольку эти углы считаются накрест лежащими;
таким образом, сумма между углами 1, 2 и 3 (который обозначается на месте угла В) признается равной развернутому углу с вершиной В - и составляет 180 градусов.

Если сумма углов, обозначенных цифрами, составляет 180 градусов, то и сумма углов А, В и С признается равной 180 градусам. Это правило верно для любого треугольника.

Что следует из геометрической теоремы

Принято выделять несколько следствий из приведенной теоремы.

Если в задаче рассматривается треугольник с прямым углом, то один из его углов будет по умолчанию равен 90 градусам, а сумма острых углов также составит 90 градусов.
Если речь идет о прямоугольном равнобедренном треугольнике, то его острые углы, в сумме составляющие 90 градусов, по отдельности будут равны 45 градусам.
Равносторонний треугольник состоит из трех равных углов, соответственно, каждый из них будет равен 60 градусам, а в сумме они составят 180 градусов.
Внешний угол любого треугольника будет равняться сумме между двумя внутренними углами, не прилегающими к нему.

Можно вывести следующее правило - в любом из треугольников есть как минимум два острых угла. В некоторых случаях треугольник состоит из трех острых углов, а если их только два, то третий угол будет тупым либо прямым.