Динамика поступательного движения законы ньютона. Законы Ньютона

Первый закон Ньютона и понятие инерциальной системы отсчёта.

Второй закон Ньютона как уравнение движения. Понятия массы, силы, импульса.

Третий закон Ньютона и пределы его применения.

Неинерциальные системы отсчёта. Абсолютные и относительные скорости и ускорения. Силы инерции (центробежная сила и сила Кориолиса).

Центр инерции (центр масс). Теорема о движении центра инерции.

1. 1-й закон Ньютона. Материальная точка, не подверженная внешним воздействиям, либо находится в покое , либо движется равномерно и прямолинейно. Такое тело называется свободным, его движение – свободным движением, или движением по инерции .

Классическая механика постулирует, что существует система отсчёта, в которой все свободные тела движутся прямолинейно и равномерно. Такая система называется инерциальной системой отсчёта . Таким образом, 1-й закон Ньютона выражает критерий инерциальности системы отсчёта .

2. 2-й закон Ньютона. Производная импульса материальной точки по времени равна действующей на неё силе.

где – импульс (количество движения), векторная величина, равная для материальной точки произведению её массы на скорость и направленная вдоль;

–масса – мера инертности тел.

Импульс механической системы равен геометрической сумме импульсов всех точек системы.

Сила в механике – мера механического действия на данное материальное тело других тел. Это действие может иметь место как при непосредственном контакте, так и через посредство создаваемых телами полей (электромагнитным, полем тяготения). Сила – величина векторная и в каждый момент времени характеризуетсячисленным значением, направлением в пространстве и точкой приложения . Сложение сил производится по правилу параллелограмма . В современной физике различают 4 вида взаимодействий :

гравитационное (обусловлено всемирным тяготением);

электромагнитное (осуществляется через электрические и магнитные поля);

сильное, или ядерное (обеспечивающее связь частиц в атомном ядре);

слабое (ответственное за многие процессы распада элементарных частиц).

Пример использования 2-го закона Ньютона как уравнения движения:

При
,
,
,

3. 3-й закон Ньютона. Силы взаимодействия двух материальных точек равны по величине, противоположно направлены и действуют вдоль прямой, соединяющей эти материальные точки .

Третий закон, как и 1-й и 2-й, справедливы лишь в инерциальных системах отсчёта . Кроме того, отступление от 3-го закона наблюдается в случае движения тел со скоростями, сравнимыми со скоростью света .

В случае движущихся зарядов необходимо учитывать также взаимодействие с магнитными полями, создаваемыми ими. Пусть два положительных заряда идвигаются со скоростямии(рис. 2.1). На каждый заряд со стороны другого действует как кулоновская
, так и лоренцева силы
. Направления векторов индукции магнитных полейи, создаваемых частицамии, определяются по правилу правого винта (буравчика).

Рис. 2.1

Магнитные силы Лоренца
и
не совпадают по направлению. Результирующие силыине равны друг другу и не направлены противоположно.

4. Неинерциальные системы отсчёта. Силы инерции. Изобразим две системы отсчёта, из которых К является инерциальной, а система
движется относительноК с некоторым ускорением и, следовательно, неинерциальная (рис. 2.2).

Рис. 2.2

В случае, когда система
движется относительноК поступательно:

где
радиус-вектор точкиm в системе К;
радиус-вектор начала координат;
радиус-вектор точкиm в системе
. Продифференцируем дважды выражение
:

где
ускорение частицыm в системе К ;

–ускорение начала системы
относительно системыК ;

–ускорение частицы в системе
.

; умножим обе части этого уравнения на m , получим

, здесь
по 2-му закону Ньютона сила, действующая на частицу со стороны других тел , тогда:

То есть относительно системы
частица ведёт себя так, как если бы кроме силы на нее действует дополнительная сила
. Эта сила называется силой инерции .

Движение относительно выбранной условно неподвижной системы называется абсолютным . Вектор
даётабсолютную скорость ,
абсолютное ускорение, а
и
относительные скорость и ускорение .

Поступательное движение - это механическое движение системы точек (тела), при котором любой отрезок прямой, связанный с движущимся телом, форма и размеры которого во время движения не меняются, остается параллельным своему положению в любой предыдущий момент времени. Если тело движется поступательно, то для описания его движения достаточно описать движение произвольной его точки (например, движение центра масс тела).

Одной из важнейших характеристик движения точки является её траектория, в общем случае представляющая собой пространственную кривую, которую можно представить в виде сопряжённых дуг различного радиуса, исходящего каждый из своего центра, положение которого может меняться во времени. В пределе и прямая может рассматриваться как дуга, радиус которой равен бесконечности.

В таком случае оказывается, что при поступательном движении в каждый заданный момент времени любая точка тела совершает поворот вокруг своего мгновенного центра поворота, причём длина радиуса в данный момент одинакова для всех точек тела. Одинаковы по величине и направлению и векторы скорости точек тела, а также испытываемые ими ускорения.

Поступательно движется, например, кабина лифта. Также, в первом приближении, поступательное движение совершает кабина колеса обозрения. Однако, строго говоря, движение кабины колеса обозрения нельзя считать поступательным.

Основное уравнение динамики поступательного движения произвольной системы тел

Скорость изменения импульса системы равна главному вектору всех внешних сил, действующих на эту систему.

Второй закон Ньютона - основной закон динамики поступательного движения - отвечает на вопрос, как изменяется механическое движение материальной точки (тела) под действием приложенных к ней сил. Рассматривая действие различных сил на данную материальную точку (тело), то ускорение, приобретаемое телом, всегда прямо пропорционально равнодействующей данных приложенных сил:

При действии одинаковой силы на тела с различными массами ускорения тел оказываются различными, а именно

Учитывая (1) и (2) и то, что сила и ускорение - величины векторные, можем записать

Соотношение (3) есть второй закон Ньютона: ускорение, приобретаемое материальной точкой (телом), пропорционально вызывающей его силе, совпадает с нею по направлению и обратно пропорционально массе материальной точки (тела). В системе измерений СИ коэффициент пропорциональности k= 1. Тогда

Учитывая, что масса материальной точки (тела) в классической механике постоянна, в выражении (4) массу можно внести под знак производной:

Векторная величина

численно равная произведению массы материальной точки на ее скорость и имеющая направление скорости, называется импульсом (количеством движения) этой материальной точки.Подставляя (6) в (5), получим

Это выражение - более общая формулировка второго закона Ньютона: скорость изменения импульса материальной точки равна действующей на нее силе.

Основные характеристики поступательного движения:

1.путь - любое движение вдоль траектории

2.перемещение – самый короткий путь.

А также сила, импульс, масса, скорость, ускорении и т.д.

Число степеней свободы - это минимальное число координат (параметров), задание которых полностью определяет положение физической системы в пространстве.

В поступательном движении все точки тела в каждый момент времени имеют одну и ту же скорость и ускорение.

Зако́н сохране́ния моме́нта и́мпульса (закон сохранения углового момента) - один из фундаментальных законов сохранения. Математически выражается через векторную сумму всех моментов импульса относительно выбранной оси для замкнутой системы тел и остается постоянной, пока на систему не воздействуют внешние силы. В соответствии с этим момент импульса замкнутой системы в любой системе координат не изменяется со временем.

Закон сохранения момента импульса есть проявление изотропности пространства относительно поворота. Он является следствием из второго и третьего законов Ньютона.

Экспериментальные исследования взаимодействий различных тел - от планет и звезд до атомов и элементарных частиц - показали, что в любой системе взаимодействующих между собой тел при отсутствии действия сил со стороны других тел, не входящих в систему, или равенстве нулю суммы действующих сил геометрическая сумма импульсов тел остается неизменной.

Система тел, не взаимодействующих с другими телами, не входящими в эту систему, называется замкнутой системой.

P-Импульс

(с векторами)

14. Различия вращательного и поступательного движения. Кинематика вращательного движения . Враща́тельное движе́ние - вид механического движения. При вращательном движении абсолютно твёрдого тела его точки описывают окружности, расположенные в параллельных плоскостях. Поступательное движение - это механическое движение системы точек (тела), при котором любой отрезок прямой, связанный с движущимся телом, форма и размеры которого во время движения не меняются, остается параллельным своему положению в любой предыдущий момент времени.[ Между движением твердого тела вокруг неподвижной оси и движением отдельной материальной точки (или поступательным движением тела) существует тесная и далеко идущая аналогия. Каждой линейной величине из кинематики точки соответствует подобная величина из кинематики вращения твердого тела. Координате s соответствует угол φ , линейной скорости v - угловая скорость w , линейному (касательному) ускорению а - угловое ускорение ε . Сравнительные параметры движения:

Поступательное движение	Вращательное движение
Перемещение S	Угловое перемещение φ
Линейная скорость	Угловая скорость
Ускорение	Угловое ускорение
	Момент инерции I
	Момент импульса
	Момент силы M

Работа:	Работа:
Кинетическая энергия	Кинетическая энергия
Закон сохранения импульса (ЗСИ)	Закон сохранения момента импульса (ЗСМИ)

При описании вращательного движения твердого тела относительно неподвижной в данной системе отсчета принято использовать векторные величины особого рода. В отличие от рассмотренных выше полярных векторов r (радиус-вектор), v (скорость), a (ускорение), направление которых естественным образом вытекает из природы самих величин, направление векторов, характеризующих вращательное движение, совпадает с осью вращения, поэтому их называют аксиальными (лат. axis – ось).

Элементарный поворот dφ – аксиальный вектор, модуль которого равен углу поворота dφ, а направление вдоль оси вращения ОО" (см. рис. 1.4) определяется правилом правого винта. (угол вращения твердого тела).

Рис.1.4. К определению направления аксиального вектора

Линейное перемещение dr произвольной точки А твердого тела связано с радиусом-вектором r и поворотом dφ соотношением dr=rsinα dφ или в векторном виде через векторное произведение:

dr= (1.9)

Соотношение (1.9) справедливо именно для бесконечно малого поворота dφ.

Угловая скорость ω – аксиальный вектор, определяемый производной вектора поворота по времени:

Вектор ω, как и вектор dφ, направлен вдоль оси вращения по правилу правого винта (рис.1.5).

Рис.1.5. К определению направления вектора

Угловое ускорение β – аксиальный вектор, определяемый производной вектора угловой скорости по времени:

β=dω/dt=d2φ/dt2=ω"=φ""

При ускоренном движении вектор β по направлению совпадает с ω (рис. 1.6,а), а при замедленном - векторы β и ω направлены противоположно друг другу (рис. 1.6,б).

Рис.1.6. Связь между направлениями векторов ω и β

Важное замечание: решение всех задач на вращение твердого тела вокруг неподвижной оси по форме аналогично задачам на прямолинейное движение точки. Достаточно заменить линейные величины x, vx, ax на соответствующие им угловые φ, ω и β, и мы получим уравнения, аналогичные (1.6) -(1.8).

Период обращения-

(Время, за которое тело совершает один оборот)

Частота(количество оборотов за единицу времени)-

ДИНАМИКА ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

Первый закон Ньютона

В кинематике рассматривается описание простейших типов механических движений. При этом не затрагиваются причины вызывающие изменения положения тела относительно других тел, а система отсчета выбирается из соображений удобства при решении той или иной задачи. В принципе, можно взять любую из бесчисленного множества систем отсчета.

Однако, законы механики в различных системах отсчета имеют, строго говоря, различный вид. Возникает задача выбора такой системы отсчета, в которой законы механики были бы возможно более простыми. Такая система отсчета, очевидно, наиболее удобна для описания механических явлений.

Выясним, от чего зависит ускорение частицы в некоторой произвольной системе отсчета. Какова причина этого ускорения? Экспериментально установлено, что этой причиной могут быть как действие на данную частицу каких-то определенных тел, так и свойства самой системы отсчета (см. §1.8 ).

Ньютон предположил, что существует такая система отсчета, в которой ускорение материальной точки обусловлено только взаимодействием ее с другими телами и не зависит от выбора системы отсчета. Материальная точка, не подверженная действию никаких других тел, движется относительно такой системы отсчета прямолинейно и равномерно, или, как говорят, по инерции. Такую систему отсчета называют инерциальной ,

Утверждение, что инерциальные системы отсчета существуют, составляет содержание первого закона классической механики - закона инерции Галилея - Ньютона - таково: существуют системы отсчета, называемые инерциальными, в которых при отсутствии воздействия других тел частица сохраняет стационарное состояние движения: движется равномерно и прямолинейно (в частном случае - покоится) .

Инерциальной системой отсчета является гелиоцентрическая система отсчета , начало отсчета которой связана с Солнцем. Системы отсчета, движущиеся равномерно прямолинейно относительно инерциальной системы также являются инерциальными. Системы отсчета, движущиеся с ускорением относительно инерциальной системы, являются неинерциальными .

По этим причинам поверхность Земли, строго говоря, является неинерциальной системой отсчета. Однако, во многих задачах, систему отсчета, связанную с Землей, в первом приближении можно считать инерциальной.

Вопросы для самоконтроля

Какие системы отсчета называются инерциальными? Почему эти системы очень удобны для описания механических движений?
Какими факторами определяется значение ускорения в инерциальных системах отсчета?
Можно ли считать систему отсчета, связанную с Землей инерциальной?
Сформулируйте первый закон Ньютона.

§2.2. Основные законы динамики в инерциальных системах отсчета

Способность тела сохранять состояние равномерного прямолинейного движения или покоя в инерциальных системах отсчета, называется инертностью тела . Мерой инертности тела является масса . Масса величина скалярная, в системе СИ измеряется в килограммах (кг).

Мерой взаимодействия является величина, называемой силой . Сила – величина векторная, в системе СИ измеряется в Ньютонах (Н).

Второй закон Ньютона. В инерциальных системах материальная точка движется с ускорением, если сумма всех сил, действующих на нее не равна нулю, причем произведение массы точки на ее ускорение равно сумме этих сил, т.е.:

Поскольку масса точки величина положительная, то ее вектор ускорения всегда направлен по сумме всех сил, действующих на нее, т.е.
.

При решении задач с применением второго закона Ньютона важно помнить следующее:

если точка движется по прямой линии, то ее вектор ускорения направлен по движению при ускоренном характере движения, для замедленного характера движения –– против движения;
если точка движется по окружности ускоренно, то вектор тангенциального ускорения направлен по вектору линейной скорости, при замедленном характере движения –– наоборот. Вектор нормального ускорения направлен к центру вращения.

Третий закон Ньютона. Силы, с которыми тела действуют друг на друга, равны по величине и противоположны по направлению, т.е.:

Следует запомнить, что силы, как меры взаимодействия, всегда рождаются парами .

Если тело совершает поступательное движение 1 , то векторы сил, действующих на него, переносят в центр масс этого тела. Это позволяет свести задачу к движению одной материальной точки твердого тела.

Для успешного решения большинства задач с использованием законов Ньютона, необходимо придерживаться некоторой последовательности действий (своего рода алгоритма).

Основные пункты алгоритма.

1. Проанализировать условие задачи и выяснить, с какими телами взаимодействует рассматриваемая материальная точка. Исходя из этого, определить количество сил, действующих на нее. (Допустим, число сил, действующих на тело, равно .) Затем выполнить схематически правильный рисунок, на котором построить все силы, действующие на точку.

2. Используя условие задачи, определить направление ускорения рассматриваемой точки, и изобразить вектор ускорения на рисунке.

3. Записать в векторной форме второй закон Ньютона, т.е.:

где
силы, действующие на точку.

4. Выбрать инерциальную систему отсчета. Изобразить на рисунке прямоугольную декартову систему координат, ось ОХ которой обычно направляют по вектору ускорения, ось ОY и ОZ направить перпендикулярно оси ОХ.

5. Воспользовавшись основным свойством векторных равенств, записать второй закон Ньютона для проекций векторов на оси координат, т.е.:

(2.3)

6. Если в задаче кроме сил и ускорений требуется определить координаты и скорость, то кроме второго закона Ньютона необходимо использовать и кинематические уравнения движения. Записав систему уравнений, необходимо обратить внимание на то, чтобы число уравнений равнялось числу неизвестных в данной задаче.

Вопросы для самоконтроля

Дайте определение силы. В каких единицах в системе СИ измеряется величина силы?
Что такое свойство инертности тела? Какая физическая величина является мерой инертности тела? В каких единицах в системе СИ измеряется масса тел?
Дайте формулировку второго закона Ньютона для инерциальных систем отсчета.
Дайте формулировку третьего закона Ньютона.

Примеры решения задач

Пример 1. В кабине лифта на динамометре висит груз массой
. Динамометр показывает силу
. Определить ускорение груза. Можно ли ответить на вопрос, в каком направлении движется груз?

Решение. На тело, движущееся с ускорением , действуют два тела: Земля с силой тяжести
и пружина с силой . Изобразим силы на рисунке. Предположим, что вектор ускорения лифта направлен вверх. Изобразим вектор на рисунке. Записываем второй закон Ньютона в векторной форме:

Выбираем ось ОХ по направлению ускорения. Записываем второй закон Ньютона для проекций векторов на эту ось:

Из данного равенства находим проекцию ускорения на ось ОХ:

Так как проекция ускорения на ось ОХ положительная, то предположение о том, что вектор ускорения лифта направлен вертикально вверх, соответствует действительности. Определить направление движения лифта не представляется возможным, так как указанному направлению вектора ускорения соответствует два типа движения: а) равноускоренное движение вертикально вверх; б) равнозамедленное движение вертикально вниз.

Второй закон Ньютона в неинерциальных системах отсчета. Силы инерции.

2 Рассмотрим неинерциальную систему отсчета
, вращающуюся с постоянной угловой скоростью
вокруг оси, перемещающейся поступательно со скоростью относительно инерциальной
системы.

В этом случае ускорение точки в инерциальной системе () связано с ускорением в неинерциальной системе () соотношением (см §1.8):

где – ускорение неинерциальной системы относительно инерциальной системы
,
линейная скорость точки в неинерциальной системе.

Из последнего соотношения вместо ускорения подставим в равенство (1), получим выражение:

Это соотношение является вторым законом Ньютона для неинерциальной системы отсчета.

Силы инерции. Введем условные обозначения:

1.
– поступательная сила инерции ;

2.
– сила Кориолиса ;

3
– центробежная сила инерции .

В задачах поступательная сила инерции изображается против вектора ускорения поступательного движения неинерциальной системы отсчета (), центробежная сила инерции –– от центра вращения по радиусу (); направление силы Кориолиса определяется по правилу буравчика для векторного произведения векторов
.

Строго говоря, силы инерции не являются в полном смысле, силами, т.к. для них не выполняется третий закон Ньютона, т.е. они не являются парными и возникают только при переходе от инерциальных систем отсчета к неинерциальным системам.

Вопросы для самоконтроля

§2.4. Силы в механике

В механике рассматривают одну бесконтактную дальнодействующую силу – силу всемирного тяготения , которая может действовать на рассматриваемое тело на большом расстоянии (например, Земля притягивает Луну), и пять контактных сил: силу упругости , силу реакции, вес тела, силу упругости, силу трения и силу сопротивления .

§2.5. Сила всемирного тяготения. Сила тяжести.

Ускорение свободного падения.

Сила всемирного тяготения возникает в процессе взаимодействия между телами, обладающими массами, и вычисляется из соотношения:

.
. (2.6)

получил название гравитационной постоянной . Его величина в системе СИ равна
.

Силы взаимного притяжения направлены вдоль одной прямой, соединяющей эти материальные точки. Закон всемирного тяготения справедлив для тел, размеры которых малы по сравнению с расстоянием между ними. Если размеры тел сравнимы с расстоянием между ними, то, для вычисления силы взаимодействия между ними, поступают следующим образом.

Каждое из тел разбивают на бесконечно малые части, размерами которых можно пренебречь по сравнению с расстоянием между ними. Далее вычисляют силы взаимодействия каждой части одного тела с каждой частью другого тела. Полная сила взаимного притяжения равна сумме сил, действующих со стороны всех элементов одного тела на все элементы другого тела.

Проведя такие рассуждения для однородных шаров, можно показать, что результирующая сила притяжения вычисляется по формуле, приведенной ранее. В этом случае, берется масса шаров, а в качестве расстояния берется расстояние между центрами шаров.

Для тела, взаимодействующего с планетой, в качестве расстояния берется расстояние от центра планеты до центра масс тела. Приведем формулу для силы притяжения тел к планетам:

. (2.7)

Обычно, силу притяжения тела к планете называют силой тяжести, величину которой принято вычислять по формуле
, где
масса тела,
модуль вектора ускорения свободного падения. Сила тяжести направлена к центру Земли, приложена к центру тяжести тела.

Соотношение (2.7), позволяет установить связь величины ускорения свободного падения с массой планеты, ее радиусом и высотой от рассматриваемой точки до поверхности планеты:

. (2.8)

На поверхности планеты, т.е. когда
, для ускорения свободного падения справедлива формула

. (2.9)

Вопросы для самоконтроля

По какому соотношению вычисляется величина силы всемирного тяготения?
Дайте определение силы тяжести.
Отчего зависит ускорение свободного падения тел?

Сила реакции. Вес тела.

Силы реакции возникают при взаимодействии тела с различными конструкциями, ограничивающими его положение в пространстве. Например, на тело, подвешенное на нити, действует сила реакции, называемая обычно силой натяжения. Сила натяжения нити направлена всегда вдоль нити. Формулы для вычисления ее величины нет. Обычно величину ее находят либо из первого, либо из второго закона Ньютона.

К силам реакции также относят силы, действующие на частицу на гладкой поверхности. Ее называют нормальной силой реакции , обозначают . Сила реакции всегда направлена перпендикулярно рассматриваемой поверхности . Со стороны тела на гладкую поверхность действует сила, называемая силой нормального давления (
). По третьему закону Ньютона, сила реакции равна по величине силе нормального давления, но векторы этих сил противоположны по направлению.

Вес тела – это сила, с которой тело, вследствие притяжения Земли, давит на горизонтальную опору или растягивает вертикальный подвес.

Если весы движутся с ускорением, то вес может быть и больше, и меньше силы тяжести.

Вопросы для самоконтроля

Какие силы принято называть силами реакций?
Дайте определение веса тела.
В каких случаях вес тела и сила тяжести совпадают?

Примеры решения задач

Пример 5 . Определить вес мальчика массой
в лифте, движущемся вертикально вверх с ускорением
. Во сколько раз вес мальчика отличается от силы тяжести?

Решение. На мальчика в лифте действуют два тела: а) Земля с силой тяжести ; б) пол лифта с силой реакции
. Изобразим эти силы на рисунке. Покажем на этом рисунке направление вектора ускорения лифта. Запишем второй закон Ньютона в векторной форме:

В качестве инерциальной системы отсчета выбираем поверхность Земли, ось ОХ направим по вектору ускорения лифта. Запишем второй закон Ньютона в проекции на эту ось:

Из данного уравнения находим величину силы реакции:

Подставляя цифровые данные в системе СИ, находим силу реакции:

По определению, вес численно равен силе реакции, т.е.
.

Найдем, во сколько раз отличается вес от силы тяжести мальчика:

Сила упругости.

Силы упругости возникают в телах в том случае, если тела деформированы, т.е. если изменена форма тела или его объем. При прекращении деформации силы упругости исчезают. Следует заметить, что, хотя силы упругости возникают при деформациях тел, не всегда деформация приводит к возникновению сил упругости.

Силы упругости возникают в телах, способных восстанавливать свою форму после прекращения внешнего воздействия. Такие тела, и соответствующие им деформации, называются упругими . При пластической деформации изменения полностью не исчезают после прекращения внешнего воздействия.

Ярким примером проявления сил упругости могут служить силы, возникающие в пружинах, подверженных деформации. Для упругих деформаций, возникающих в деформированных телах, сила упругости всегда пропорциональна величине деформации, т.е.:

, (5)

где
коэффициент упругости (или жесткости) пружины,
вектор деформации пружины.

Данное утверждение получило название закона Гука.

Чем больше жесткость тела, тем меньше оно деформируется при заданной силе. Величина определяется геометрическими размерами тела и материалом, из которого оно изготовлено. Если форма тела (стержня, пружины или резинового жгута) начинает существенно меняться, то пропорциональность между
и
нарушается (см. рис. 2.2).

Сила упругости направлена вдоль нити, стержня или пружины. Сила приложена в точке контакта.

Нить – модель тела с нулевой массой и с выделенной осью, которое способно изгибаться под бесконечно малой нагрузкой. Поэтому, ее можно перебросить через блок, и сила натяжения будет везде одинакова.

Пружина – модель тела (обычно с нулевой массой), которое действует на рассматриваемое тело не только в растянутом, но и в сжатом состоянии. Причем закон Гука выполняется для пружины не только при растяжении, но и при сжатии.

Вопросы для самоконтроля

Какие силы принято называть силами упругости?
Какие деформации называются упругими, а какие пластическими?
Сформулируйте закон Гука и укажите границы применимости закона Гука.

Примеры решения задач

Пример 6 . Через легкий вращающийся без трения блок перекинута нить. На одном конце нити находится тело массой
, на другом - тело массой
. Определить величину силы натяжения нити и величину ускорения тел.

Решение. Изобразим все силы, действующие на тела и на блок. Рассмотрим процесс движения тел, связанных нитью, перекинутой через блок. Нить является невесомой и нерастяжимой, следовательно, величина силы натяжения на любом участке нити будет одинаковой, т.е.
и
.

Перемещения тел за любые промежутки времени будут одинаковыми, и, следовательно, в любой момент времени одинаковыми будут величины скоростей и ускорений этих тел.

Из того, что блок вращается без трения и является невесомым, следует, что сила натяжения нити по обе стороны блока будет одинаковой, т.е.:
.

Отсюда вытекает равенство сил натяжения нити, действующей на первое и второе тело, т.е.
.

Изобразим на рисунке векторы ускорений первого и второго тела. Изобразим две оси ОХ. Первую ось направим вдоль вектора ускорения первого тела, вторую - вдоль вектора ускорения второго тела.

Запишем второй закон Ньютона для каждого тела в проекции на эти оси координат:

Учитывая, что
, и выразив из первого уравнения , подставим во второе уравнение, получим

Из последнего равенства находим величину ускорения:

Из равенства (1) находим величину силы натяжения:

Сила трения. Закон сухого трения.

При соприкосновении тел, между ними наблюдается взаимодействие. Силу, характеризующую это взаимодействие, называют силой реакции поверхности, обозначают , и представляют в виде суммы сил, составляющих ее:
, где
– сила нормальной реакции поверхности , направленная перпендикулярно этой поверхности,
– сила трения , направленная вдоль этой поверхности.

При контакте гладких поверхностей
и
. Простейшее соотношение между модулями сил, составляющих силу реакции поверхности, формулируется в виде закона сухого трения:

При скольжении модуль силы трения прямо пропорционален модулю силы нормальной реакции:

Коэффициент пропорциональности – коэффициент трения скольжения не зависит ни от площади соприкасающихся поверхностей, ни от скорости их относительного движения.

Если скольжение не происходит, то максимально возможное значение силы трения покоя равно значению силы трения скольжения:

Значение и направление силы трения покоя определяется из условия неподвижности тела относительно опоры.

При постепенном увеличении (со временем) силы , приложенной вдоль трущихся поверхностей, происходит аналогичный рост силы трения покоя (рис. 2.3). Силы, действующие вдоль поверхности, скомпенсированы, поэтому тело покоится.

Когда модуль силы достигнет значения
, модуль силы трения покоя достигает своего максимального значения, а затем сила трения уже не уравновешивает внешнюю силу , и тело начинает скользить, разгоняясь (рис. 2.3).

Вопросы для самоконтроля

Примеры решения задач

Пример 9 . На наклонной плоскости с углом наклона
находится тело массой
. Коэффициент трения между телом и наклонной плоскостью равен
. К телу прикладывают силу, направленную вверх вдоль наклонной плоскости. Какова должна быть величина этой силы, чтобы тело двигалось вверх по наклонной плоскости с ускорением?

Решение. На тело, движущееся вверх вдоль наклонной плоскости, действуют внешние тела: а) Земля с силой тяжести , направленной вертикально вниз; б) наклонная плоскость с силой реакции , направленной перпендикулярно наклонной плоскости; в) наклонная плоскость с силой трения
, направленной против движения тела; г) внешнее тело с силой , направленной вверх вдоль наклонной плоскости.

Под действием этих сил тело движется равноускоренно вверх по наклонной плоскости, и, следовательно, вектор ускорения направлен по перемещению тела.

Изобразим вектор ускорения на рисунке. Запишем второй закон Ньютона в векторной виде:

Выберем прямоугольную декартову систему координат, ось ОХ которой направим по ускорению движения тела, а ось OY - перпендикулярно наклонной плоскости.

Запишем второй закон Ньютона в проекциях на эти оси координат, получим следующие уравнения:

Сила трения скольжения связана с силой реакции следующим соотношением:

. (3)

Из равенства (2) находим величину силы реакции и подставляем в равенство (3), имеем следующее выражение для силы трения:

. (4)

Подставим в равенство (1) вместо силы трения правую часть равенства (4), получим следующее уравнение для вычисления величины искомой силы:

Вычислим величину силы
:

Сила сопротивления.

При движении тел в жидкостях и газах возникают так же силы трения, но они существенно отличаются от сил сухого трения. Эти силы называются силами вязкого трения , или силы сопротивления . Силы вязкого трения возникают только при относительном движении тел. Силы сопротивления зависят от многих факторов, а именно: от размеров и формы тел, от свойств среды (плотности, вязкости), от скорости относительного движения. При малых скоростях сила сопротивления прямо пропорционально зависит от скорости движения тела относительно среды, т.е.:

, (2.11)

где
– вектор скорости движения теля относительно среды.

При больших скоростях сила сопротивления пропорциональна квадрату скорости движения тела относительно среды, т.е.:

, (2.12)

где
некоторые коэффициенты пропорциональности, называемые коэффициентами сопротивления .

Вопросы для самоконтроля

При каких условиях возникает сила сопротивления?
По какой формуле вычисляется сила трения для малых скоростей движения?
По какой формуле вычисляется сила трения при большой скорости движения?

Основное уравнение динамики

Основное уравнение динамики материальной точки представляет собой не что иное, как математическое выражение второго закона Ньютона:

. (2.13)

В прямоугольной декартовой системе координат основное уравнения динамики в проекциях на оси координат имеет вид:

(2.14)

В инерциальной системе отсчета в сумму всех сил входят только силы, являющиеся мерами взаимодействий, в неинерциальных системах в сумму сил входят силы инерции.

С математической точки зрения соотношение (9) представляет собой дифференциальное уравнение движения точки в векторном виде. Его решение является основной задачей динамики материальной точки.

Вопросы для самоконтроля

Какое соотношение является основным уравнением динамики?
Как выглядят уравнения динамики в прямоугольной декартовой системе координат?

Примеры решения задач

Пример 1 . , получим искомую зависимость скорости от времени:

1 Поступательным движением твердого тела называется такое его движение, при котором всякая прямая, неизменно связанная с телом, перемещается параллельно самой себе..

2 Материал для дополнительного изучения

*Задача повышенной сложности

Глава 2. ЭЛЕМЕНТЫ ДИНАМИКИ

Динамика изучает движение тел с учетом тех причин (взаимодействий между телами), которые обусловливают тот или иной характер движения. В основе классической (ньютоновской) механики лежат три закона динамики, сформулированные И. Ньютоном в XVII в. Законы Ньютона возникли в результате обобщения большого количества опытных фактов. Правильность их подтверждается совпадением с опытом тех следствий, которые из них вытекают.

Первый закон Ньютона формулируется следующим образом: всякое тело находится в состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока воздействие со стороны других тел не заставит его изменить это состояние. Оба названных состояния объединяются тем, что ускорение тела равно нулю.

Учитывая, что характер движения зависит от выбора системы отсчета͵ следует сделать вывод, что первый закон Ньютона выполняется не во всякой системе отсчета. Система отсчета͵ в которой выполняется первый закон Ньютона, принято называть инерциальной. Сам закон называют законом инерции. Система отсчета͵ в которой первый закон Ньютона не выполняется, принято называть неинерциальной. Любая система отсчета͵ движущаяся равномерно и прямолинейно относительно инерциальной системы, также является системой инерциальной. По этой причине инерциальных систем существует бесконечное множество.

Свойство тел сохранять состояние покоя или равномерного и прямолинейного движения принято называть инертностью (инерцией). Мерой инертности тела является его масса m . Она не зависит от скорости движения тела. За единицу массы принят килограмм (кг) - масса эталонного тела.

В случае если состояние движения тела или его форма и размеры меняются, то говорят, что на тело действуют другие тела. Мерой взаимодействия тел служит сила . Всякая сила проявляется как результат действия одного тела на другое, сводящийся к появлению у тела ускорения или его деформации.

Второй закон Ньютона: результирующая сила, действующая на тело, равна произведению массы этого тела на его ускорение:

Так как масса является скаляром, то из формулы (6.1) следует, что .

На основании этого закона вводится единица силы - ньютон (Н): .

Второй закон Ньютона справедлив только в инерциальных системах отсчета.

Заменим ускорение в уравнении (6.1) производной скорости по времени:

Векторная величина

принято называть импульсом тела .

Из формулы (6.3) следует, что направление вектора импульса совпадает с направлением скорости. Единица импульса - килограмм-метр на секунду (кг×м/c).

Объединяя выражения (6.2) и (6.3), получаем

Полученное выражение позволяет предложить более общую формулировку второго закона Ньютона: действующая на тело сила равна производной импульса по времени .

Всякое действие тел друг на друга носит характер взаимодействия (рис. 6.1). В случае если тело действует на тело с некоторой силой , то и тело в свою очередь действует на тело с силой .

Третий закон Ньютона формулируется следующим образом: взаимодействующие тела действуют друг на друга с силами, равными по модулю и противоположными по направлению.

Эти силы, приложенные к разным телам, действуют по одной прямой и являются силами одной природы. Математическое выражение третьего закона Ньютона имеет вид

Знак "-" в формуле (6.5) означает, что векторы сил противоположны по направлению.

В формулировке самого Ньютона третий закон гласит: "Действию всегда есть равное и противоположное противодействие, иначе - действия двух тел друг на друга между собою равны и направлены в противоположные стороны".

Курсовая работа

тема: «Динамика поступательного движения»

Москва 2013

Введение

Первый закон Ньютона

Второй закон Ньютона

Третий закон Ньютона

Закон всемирного тяготения

Неинерциальные системы отсчета

Основные формулы динамики поступательного движения

Введение

Динамикой называется раздел механики, изучающий движение материальных тел совместно с причинами, вызывающими это движение. Динамику можно разделить на классическую, релятивистскую и квантовую. В этой главе рассматривается классическая динамика. При этом предполагается, что скорости движения тел значительно меньше скорости света (v<>ra). Тела, двигающиеся со скоростями, сравнимыми со скоростью света, описываются в рамках релятивистской механики, а тела, имеющие атомные размеры и меньше, изучаются квантовой механикой.

Начало классической механике положили работы Галилея, а сама классическая механика как наука была сформирована после работ И. Ньютона. В основе классической динамики лежат три закона Ньютона, сформулированные им в 1687 г. Эти законы являются обобщением человеческого опыта и заслугой Ньютона является то, что он из огромного числа опытных фактов сумел выделить главные, которые стали краеугольными камнями классической физики.

Механическое движение тела можно разложить на поступательное и вращательное и, соответственно, отдельно рассматривать динамику поступательного и вращательного движений. Для описания динамики поступательного движения, кроме кинематических характеристик, необходимо ввести ряд новых понятий, важнейшими из которых являются понятие массы и силы.

1. Первый закон Ньютона

Первый закон Ньютона: Всякая материальная точка сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока воздействие со стороны других тел не заставит ее изменить это состояние.

Математически этот закон можно записать в виде=const или v = 0 при F = 0,

где F - сила, действующая на точку. Оба равенства можно заменить одним a = 0 при F = 0.

До работ Галилея считалось, что для поддержания движения с постоянной скоростью к телу необходимо прикладывать некоторую силу. Об этом говорил повседневный опыт, положение о наличии силы было заложено в физическом учении Аристотеля. Галилей учел наличие сил трения и путем логических рассуждений пришел к выводу, сформулированному первым законом Ньютона. Инертностью называется стремление тела сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения. Опыт показывает, что все тела обладают инертностью. Более подробно понятие инертности обсуждается ниже. Система отсчета называется инерциальной, если в ней выполняется первый закон Ньютона. Поэтому иногда первый закон Ньютона называют законом инерции. Кроме инерциальных, существуют и неинерциальные системы отсчета, т.е. такие системы, в которых не выполняется первый закон Ньютона (ускоренно движущийся автомобиль, центрифуга и др.). Неинерциальные системы отсчета обсуждаются ниже.

Если вспомнить второй закон Ньютона

то получается, что первый закон вытекает из второго при. Это вызывает определенное недоумение. Зачем провозглашать в качестве закона элементарное следствие из другого закона?

Если силы известны, то из следует. С другой стороны, как знать, что на тело не действует сила? Можно сказать, что, если, то и. Получается замкнутый круг.

Пример: падающий лифт является инерциальной системой, хотя он и движется с ускорением относительно земли. Здесь тело движется с постоянной скоростью, если на него не действуют внешние силы.

Смысл первого закона заключается в том, что если на тело не действуют внешние силы, то найдется система отсчета, в которой это тело покоится или движется с постоянной скоростью. Таких систем бесконечно много.

В «астрономической системе отсчета» центр системы координат связан с Солнцем, а оси направлены на неподвижные звезды. С очень высокой точностью такая система является инерциальной.

механика масса инерционный

2. Второй закон Ньютона

Для формулировки второго закона Ньютона необходимо ввести понятия массы и силы. Известно, что всякое тело противится попыткам изменить его состояние движения. Это свойство тел назвали инертностью. Основной характеристикой инертных свойств тела является масса. Существуют различные определения массы.

Массой называется физическая величина, определяющая инерционные свойства тела. Для того, чтобы пользоваться этим определением необходимо указать метод измерения инерционных свойств. Можно, например, рассмотреть изменение движения различных тел под действием одной и той же силы. Сравнивая ускорения, приобретаемые различными телами, можно получить сравнительные оценки и для масс. При этом тела, обладающие большей массой, получают меньшее ускорение.

Массой называется количество вещества, содержащегося в теле. Такое определение массы дал Ньютон. Это достаточно общее, но не вполне строгое определение (в рамках теории относительности масса может меняться при движении).

Существует также понятие гравитационной массы, которую можно определить, используя гравитационное взаимодействие между двумя массами, описываемое законом Ньютона

где G = 6,67·10 - 11 м3/кг·с2 - гравитационная постоянная, т1 и т2 - массы тел, r - расстояние между телами.

В качестве единицы массы принят 1 кг - масса эталона, хранящегося в Международном бюро мер и весов (Париж). Силой называется векторная величина, являющаяся мерой механического воздействия на тело со стороны других тел или полей, в результате которого тело приобретает ускорение или изменяет свою форму и размеры. В рамках классической механики можно выделить несколько наиболее часто встречающихся видов сил. Из фундаментальных сил, которые нельзя свести к более простым - это гравитационные и электромагнитные силы. Частным случаем гравитационной силы является сила тяжести. Часто приходится иметь дело с упругими силами и силами трения. Рассмотрим эти силы более подробно. Гравитационные силы описываются формулой Ньютона, приведенной выше. Если в качестве массы взять массу Земли М, а в качестве r радиус Земли R, то получим выражение для силы тяжести

Величина Р определяет силу, с которой притягиваются к земле все тела, имеющие массу т. Весом тела называют силу, с которой тело действует на горизонтальную опору. Если не учитывать вращение Земли и рассматривать неподвижную относительно Земли систему отсчета, то вес тела совпадает с его силой тяжести. В более сложных случаях следует учитывать силы инерции (см. ниже).

Упругие силы возникают при деформации тел (растяжение или сжатие, изгиб, кручение) и обусловлены межмолекулярным взаимодействием. При растяжении пружины от положения равновесия на величину х возникает упругая сила

Здесь k - жесткость пружины, - константа, характеризующая упругие свойства пружины. Знак минус указывает на то, что сила направлена в сторону, противоположную смещению пружины и стремится вернуть пружину в положение равновесия. Силы трения появляются при перемещении соприкасающихся тел относительно друг друга. Трение между поверхностями двух твердых тел при отсутствии какой-либо прослойки между ними называют сухим трением. Различают трение покоя, трение скольжения и трение качения. Если на тело, лежащее на плоской шероховатой поверхности, действует сила F, но тело не движется, то сила F уравновешена силой трения.

Эту силу называют силой трения покоя. Она действует на тело со стороны поверхности на границе соприкосновения и определяется формулой

Сила трения скольжения определяется формулой

где k - коэффициент трения, N - сила реакции опоры. Она определяет усилие, с которым тела прижимаются друг к другу (сила нормального давления). Приведенную формулу иногда называют законом Кулона - Амонтона.

Силы трения покоя и трения скольжения часто объединяют в одну, которую определяют формулой

График этой силы имеет вид

Сила трения качения мала по сравнению с силами трения скольжения, и мы ее здесь не рассматриваем.

Об электрических и магнитных силах речь будет идти в соответствующих разделах электромагнетизма. На атомном и ядерном уровнях вместо сил обычно рассматривают взаимодействия, которые описывают с позиции энергии.

Второй закон Ньютона: Ускорение, приобретаемое материальной точкой, прямо пропорционально действующей на нее силе и обратно пропорционально массе точки:

Обычно этот закон записывают в виде

Здесь сила и ускорение рассматриваются как векторы.

Единицей силы в системе СИ является 1Н (ньютон) - это сила, под действием которой тело массой 1 кг приобретает ускорение в 1 м/с2

Отметим, что масса и сила являются аддитивными величинами, т.е. масса системы материальных точек определяется выражением

а действие нескольких сил можно заменить действием одной

Если F = 0, то из второго закона Ньютона вытекает a = 0. Отсюда следует, что при отсутствии внешних сил v = const, т.е. утверждение, содержащееся в первом законе Ньютона. На самом деле ценность первого закона в том, что он утверждает существование инерциальных систем отсчета. Импульсом материальной точки называется величина

Второй закон Ньютона является основным законом динамики поступательного движения.

Третий закон Ньютона

Мы рассматривали действие других тел на выбранное тело. На самом деле между различными телами существует взаимодействие, т.е. выбранное тело также воздействует на другие тела.

Третий закон Ньютона: Силы, с которыми действуют друг на друга взаимодействующие тела, равны по величине и противоположны по направлению.

Если тело покоится на горизонтальной плоскости, то схема действующих сил имеет вид

ила нормального давления N cвязана с силой тяжести соотношением

Для тела, движущегося по шероховатой горизонтальной плоскости под действием силы F, можно ввести следующие основные силы, показанные на рисунке:

Как отмечалось выше, сила трения описывается выражением

где k - коэффициент трения.

Закон всемирного тяготения

Из множества сил, способных действовать на материальное тело следует выделить силы всемирного тяготения. Они составляют закон, открытый Ньютоном и позволивший объяснить движение небесных тел и происхождение силы тяжести. Три закона Ньютона в совокупности с законом тяготения позволили Ньютону создать небесную механику и объяснить законы Кеплера, движение планет, комет, спутников и других небесных тел.

Закон тяготения Ньютона. Две материальные точки массами и, расположенные на расстоянии r друг от друга, притягиваются с силой, прямо пропорциональной массам этих точек и обратно пропорционально квадрату расстояния между ними:

Здесь G = 6,67·10 - 11 м3/кг·с2 - гравитационная постоянная. При этом сила направлена вдоль линии, соединяющей точки.

Эта формула справедлива для материальных точек, т.е. когда размерами тел можно пренебречь по сравнению с расстоянием между ними. Если размеры тел сравнимы с расстоянием между телами, необходимо использовать операцию интегрирования.

Как уже отмечалось, из закона тяготения легко получить выражение для ускорения силы тяжести

где М и - масса и радиус Земли.

Пример 1. Определить изменение ускорения силы тяжести при изменении высоты подъема над поверхностью Земли.

Решение. Ускорение силы тяжести определяется формулой

где - радиус Земли, h - высота подъема. При получим

ускорение силы тяжести на поверхности Земли.

Полученная формула показывает, что заметного изменения g можно ожидать на высотах, сравнимых с радиусом Земли км.

Вопрос. Почему космонавты испытывают чувство невесомости на высоте км?

Пример 2. Определить первую и вторую космические скорости, т.е. скорости при которых ракета будет вращаться вокруг Земли или покинет Землю.

Решение. Сделаем рисунок

Первая космическая скорость определяется из условия

Отсюда получим

Для определения второй космической скорости найдем работу, которую надо совершить для удаления ракеты от Земли

Из закона сохранения энергии

Аналогично можно найти третью космическую скорость, при которой ракета покинет Солнечную систему.

Неинерциальные системы отсчета

Законы Ньютона справедливы только в инерциальной системе отсчета. В частности, в ускоренно движущемся лифте при отсутствии внешних сил траектория материальной точки будет отличаться от прямой линии. Если в ускоренно движущемся лифте измерять вес тела с помощью пружинных весов, то в поднимающемся и опускающемся лифтах показания весов будут разными и отличаться от показаний в покоящемся лифте.

Система отсчета называется неинерциальной, если она движется с ускорением относительно инерциальной системы. Если и - ускорения материальной точки в инерциальной и неинерциальной системах, - ускорение системы отсчета, то

Геометрически это имеет вид

Законы Ньютона можно записывать в неинерциальных системах, если к действию внешних сил добавить силы инерции:

где - ускорение материальной точки относительно неинерциальной системы отсчета. Значение силы инерции зависит от выбора неинерциальной системы отсчета и характера движения материальной точки в этой системе. Соответственно двум движениям тела - поступательному и вращательному - применяют как поступательно движущиеся, так и вращающиеся неинерциальные системы отсчета.Отметим, что сила инерции отличается от других сил тем, что она существует только в неинерциальной системе отсчета и для нее нельзя указать тех конкретных сил, со стороны которых она действует. В частности, силы инерции не подчиняются третьему закону Ньютона - для них нет силы противодействия. Соответственно, в неинерциальных системах могут не выполняться законы сохранения энергии, импульса и момента импульса. Отметим, что связь между силами инерции и силами тяготения лежит в основе общей теории относительности Эйнштейна.

Рассмотрим простейшие случаи проявления сил инерции.

) Ускоренное поступательное движение системы отсчета. Если в инерциальной системе отсчета уравнение Ньютона имеет вид

то в неинерциальной системе получим

Если в неинерциальной системе материальная точка покоится (), то

Эта формула дает выражение для силы инерции в поступательно движущихся неинерциальных системах.

) Центробежная сила инерции. Рассмотрим материальную точку, закрепленную на вращающемся диске.

На точку действует сила инерции

которую называют центробежной силой инерции. Она направлена по радиусу от центра вращения. Используя векторные обозначения, запишем эту силу в векторном виде

В справедливости этой формулы нетрудно убедиться, построив соответствующий рисунок и указав направления векторов.

) Силы Кориолиса. Во вращающейся системе отсчета центробежная сила действует как на неподвижное, так и на движущееся тело. Кроме на движущуюся во вращающейся системе отсчета материальную точку действует дополнительная сила, связанная с перемещением этой точки.

Силой Кориолиса называют силу, связанную с движением материальной точки во вращающейся системе координат. Более полное название этой силы - кориолисова сила инерции. Действие этой силы показано на рисунке.

Если диск не вращается, материальная точка при отсутствии внешних сил движется по прямой ОА. Во вращающемся диске траектория материальной точки относительно диска изобразится кривой ОВ. Следовательно, по отношению к вращающейся системе отсчета на материальную точку действует сила FK, направленная перпендикулярно скорости v (скорость задается относительно диска, т.е. в неинерциальной системе координат). Можно показать, что сила Кориолиса определяется формулой

Эта формула остается справедливой при любом направлении скорости (не обязательно по радиусу).

Итак, в произвольной неинерциальной системе отсчета основной закон динамики имеет вид

Здесь сила F вызывается взаимодействием между телами, а силы Fи, Fц и FК связаны с ускоренным движением системы отсчета.

Отметим, что в неинерциальной системе отсчета при использовании законов сохранения энергии и импульса необходимо учитывать действие сил инерции.

Основные формулы динамики поступательного движения

Импульс

Второй закон Ньютона

Третий закон Ньютона

Сила гравитационного взаимодействия

Сила сухого трения

Координаты центра масс

Уравнение движения в неинерциальной системе отсчета

Сила инерции

Центробежная сила инерции

Сила Кориолиса

Список использованной литературы и источников

1. Трофимова Т.И. Курс физики, М.: Высшая школа, 1998, 478 с.

Трофимова Т.И. Сборник задач по курсу физики, М.: Высшая школа, 1996, 304с

Волькенштейн В.С. Сборник задач по общему курсу физики, СПб.: «Специальная литература», 1999, 328 с.

Трофимова Т.И., Павлова З.Г. Сборник задач по курсу физики с решениями, М.: Высшая школа, 1999, 592 с.

Все решения к «Сборнику задач по общему курсу физики» В.С. Волькенштейн, М.: Аст, 1999, книга 1, 430 с., книга 2, 588 с.

Красильников О.М. Физика. Методическое руководство по обработке результатов наблюдений. М.: МИСиС, 2002, 29 с.

Супрун И.Т., Абрамова С.С. Физика. Методические указания по выполнению лабораторных работ, Электросталь: ЭПИ МИСиС, 2004, 54 с.