Связь между дв. Инт. По области Д и криволин. Инт. По области L устанавливают формулу Остроградского-Грина.

Пусть на плоскости OXY задана область Д огр. Кривой пересекающееся с прямыми параллельными корд. Осям не более чем в 2 точках, т. е. область Д правильная.

Т1.Если ф. P(x,y), Q(x,y) непрерывно вместе со своими чанными производными ,

Области Д то справедлива форм. (ф.Остр.-Гр.)

L граница области Д и интегрирование вдоль кривой L производится в положительном направлении.До- во.

Т2.Если = (2), то подинтегр. Выражение P*dx+Q*dy явл. Полным диф. Функции U=U(x,y).

P*dx+Q*dy =U(x.y)

Удовлетворяет условию (2) можно найти используя ф.

Зам.1 Чтобы не спутать переменную интегр. X с верхним преднлом ее обозн. Другой буквой.

Зам. 2 в качестве нач точки(x0,Y0) обычно берут точку (0.0)

Условие независимости криволинейного инт. 2-го рода от пути интегр.

Пусть т. А (X1, Y1), В(X2, Y2),. Пусть произв. точки области Д. Точки А и B можно соеденить различными линиями. По каждой из них кр. Инт. будет иметь свое значение если же значение по всем кривым одинаково, то интеграл не зависит, от вида пути инт., в этам сл достаточно отметить первонач. Точку А (X1, Y1) и конечную В(X2, Y2).

Т. Для того, чтобы кр. Инт.

Не зависит от пути инт. Области Д в кот. Ф. P(X,Y), Q(X,Y) непрерывны вместе со своими производными и необходимо, чтобы в каждой точке области = Док-во

Кр. Инт. 2-го рода не зависит отпути интегрирования

Зам. = отсюда получаем, что

Пов. Инт. 1-го рода.Его св. и выч.

Пусть в точках пов. S С ПЛ. S пространства oxyz опред. Непрерывная ф. f(x,y.z) .

Разобьем пов. S на n частей Si, ПЛ. КАЖДОЙ ЧАСТИ дельта Si, а диаметр Di i=1..m в каждой части Si выберем произвольную точку Mi от (xi, yi, zi) и cоставим сумму . Сумма называется интегральной для ф. f(x,y.z) по поверхности S если при интегр. Сумма имеет предел, то он наз. Пов интегралом 1-го рода от ф. f(x,y.z) по поверхности S и обозначается =

Свойства пов. Инт.

2) 3) S=s1+s2, Тогда 4) f1<=f2 , т о 5) 6) 7) Ф. f непрерывна на поверхности S , то на этой поверхности сущ. Точка M(x0,y0,z0) S, такая, что .

Выч пов инт 1-го рода сводиться к вычисленею2-го инт по обл Д, кот явл проекцией пов S на плоскость oxy, если пов s задана Ур z=z(x,y) то по винт равен .

Если S задано в виде y=y(x, z), то …

Пов инт 2-го рода

Пусть задана двусторонняя пов, после обхода такой пов не пересекая ее границы направление нормали к ней не меняется. Односторонныя пов: является Лист Мебиуса. Пусть в точке рассматриваемой двусторонней поверхности S в прстранстве oxyz определена ф. F(x,y,z). Выбронную сторону поверхности разбиваем на части Si i=1..m и проектируем их на корд плоскости. При этом пл пов ,берем со знаком «+», если выбрана верхняя сторона пов (если нормаль образует острый угол с oz, выб со зн «–» если выбрана нижняя сторона пов(ТУПОЙ УГОЛ)). Составим инт сумму Где – пл пов Si –части при если он сущ и не зависит от способа разбиения поверхности на части и от выбора точек в них, наз по инт 2-ого рода от ф. f(x,y,z) по пов s и обозначается: по опред пов интеграл будет = пределу интегр суммы. Аналогично опред инт по пов s

, тогда общим видоим пов инт 2-го рода служит инт где P, Q, R непрерывные функции опред в точках двусторонней пов s. Если S замкнутая пов, то по инт по внешней стороне обозначается и по внутренней стороне . ds. Где ds элемент площади пов S , а cos , cos cos напр cos нармали n. Выбранной стороны пов.

Формула Остроградского - Грина

Эта формула устанавливает связь между криволинейным интегралом по замкнутому контуры С и двойным интегралом по области, ограниченной этим контуром.

Определение 1. Область D называется простой областью, если её можно разбить на канечное число областей первого типа и независимо от этого на конечное число областей второго типа.

Теорема 1. Пусть в простой области определены функции P(x,y) и Q(x,y) непрерывные вместе со своими частными производными и

Тогда имеет место формула

где С - замкнутый контур области D.

Это формула Остроградского - Грина.

Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования

Определение 1. Говорят, что замкнутая квадрируемая область D односвязна, если любую замкнутую кривую l D можно непрерывно диформировать в точку так, что все точки этой кривой принадлежали бы области D (область без “дырок” - D 1), если такое деформирование невозможно, то область назывется многосвязной (с “дырками” - D 2).

Определение 2. Если значение криволинейного интеграла по кривой АВ не зависит от вида кривой, соединяющей точки А и В, то говорят, что этот криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования:

Теорема 1. Пусть в замкнутой односвязной области D определены непрерывные, вместе со своими частными производными функции P(x,y) и Q(x,y). Тогда следующие 4 условия равносильны (эквивалентны):

1) криволинейный интеграл по замкнутому контуру

где С - любой замкнутый контур в D;

2) криволинейный интеграл по замкнутому контуру не зависит от пути интегрирования в области D, т.е.

3) дифференциальная форма P(x,y)dx + Q(x,y)dy является полным дифференциалом некоторой функции F в области D, т.е., что существует функция F такая, что (х,у) D имеет место равенство

dF(x,y) = P(x,y)dx + Q(x,y)dy; (3)

4) для всех точек (х,у) D будет выполняться следующее условие:

Докажем по схеме.

Докажем, что из.

Пусть дано 1), т.е. = 0 по свойству 2 §1, что = 0 (по свойству 1 §1) .

Докажем, что из.

Дано, что кр.инт. не зависит от пути интегрирования, а только от выбора начала и канца пути

Рассмотрим функцию

Пакажем, что дифференциальная форма P(x,y)dx + Q(x,y)dy является полным дифференциалом функции F(x,y), т.е. , что

Зададим частный прирост

х F (x,y)= F(х + х, у) -F (x,y)= = == =

(по свойству 3 § 1, ВВ* Оу) = = P (c,y)х (по теореме о среднем, с -const), где x

(всилу непрерывности функции Р). Получили формулу (5). Аналогично получается формула (6).

Докажем, что из.

Дана формула

dF(x,y) = P(x,y)dx + Q(x,y)dy.

Очевидно, что = Р(х,у). Тогда

По условию теоремы правые части равенств (7) и (8) непрерывные функции, то по теореме о равенстве смешанных производных будут равны и левые части, т.е.., что

Докажем, что из 41.

Выберем любой замкнутый контур из области D, который ограничивает область D 1 .

Функции P и Q удовлетворяют условиям Остроградского-Грина:

В силу равенства (4) в левой части (9) интеграл равен 0, а это значит, что и правая часть равенства равна

Замечание 1. Теорема 1. может быть сформулировано в виде трёх самостоятельных теорем

Теорема 1*. Для того, чтобы в односвязной квадрируемой области D крив.инт. не зависил от пути интегрирования чтобы выполнялось условие (.1), т.е.

Теорема 2*. Для того, чтобы в односвязной квадрируемой области D крив.инт. не зависил от пути интегрирования чтобы выполнялось условие (3):

дифференциальная форма P(x,y)dx + Q(x,y)dy является полным дифференциалом некоторой функции F в области D.

Теорема 3*. Для того, чтобы в односвязной квадрируемой области D крив.инт. не зависил от пути интегрирования чтобы выполнялось условие (4):

Замечание 2. В теореме2* область D может быть и многосвязной.

Эти формулы связывают интеграл по фигуре с некоторым интегралом по границе данной фигуры.

Пусть функции непрерывны в области D ÌOxy и на ее границе Г ; область D – связная; Г – кусочно-гладкая кривая. Тогда верна формула Грина :

здесь слева стоит криволинейный интеграл I рода, справа – двойной интеграл; контур Г обходится против часовой стрелки.

Пусть Т – кусочно-гладкая ограниченная двусторонняя поверхность с кусочно-гладкой границей Г . Если функции P (x ,y ,z ), Q (x ,y ,z ), R (x ,y ,z ) и их частные производные I порядка непрерывны в точках поверхности Т и границы Г , то имеет место формула Стокса :

(2.23)

слева стоит криволинейный интеграл II рода; справа – поверхностный интеграл II рода, взятый по той стороне поверхности Т , которая остается слева при обходе кривой Г .

Если связная область W ÌOxyz ограничена кусочно-гладкой, замкнутой поверхностью Т , а функции P (x ,y ,z ), Q (x ,y ,z ), R (x ,y ,z ) и их частные производные первого порядка непрерывны в точках из W и Т , то имеет место формула Остроградского-Гаусса :

(2.24)

слева – поверхностный интеграл II рода по внешней стороне поверхности Т ; справа – тройной интеграл по области W .

Пример 1. Вычислить работу силы при обходе точки ее приложения окружности Г : , начиная от оси Ox , по часовой стрелке (рис. 2.18).

Решение. Работа равна . Применим формулу Грина (2.22), ставя знак “-” справа перед интегралом (так как обход контура – по часовой стрелке) и учитывая, что P (x ,y )=x -y , Q (x ,y )=x +y . Имеем:
,
где S D – площадь круга D : , равная . В итоге: – искомая работа силы.

Пример 2. Вычислить интеграл , если Г есть окружность в плоскости z =2, обходимая против часовой стрелки.

Решение. По формуле Стокса (2.23) исходный интеграл сведем к поверхностному интегралу по кругу Т :
T :

Итак, учитывая, что , имеем:

Последний интеграл есть двойной интеграл по кругу D ÌOxy , на который проектировался круг Т ; D : . Перейдем к полярным координатам: x =r cosj, y =r sinj, jÎ, r Î. В итоге:
.

Пример 3. Найти поток П Т пирамиды W : (рис. 2.19) в направлении внешней нормали к поверхности.

Решение. Поток равен . Применяя формулу Остроградского-Гаусса (2.24), сводим задачу к вычислению тройного интеграла по фигуре W -пирамиде:

Пример 4. Найти поток П векторного поля через полную поверхность T пирамиды W : ; (рис. 2.20), в направлении внешней нормали к поверхности.

Решение. Применим формулу Остроградского-Гаусса (2.24) , где V – объем пирамиды. Сравним с решением непосредственного вычисления потока ( – грани пирамиды).

,
так как проекция граней на плоскость Oxy имеет нулевую площадь (рис. 2.21),

Пусть π - плоскость в , - единичный вектор нормали к π, D - односвязная область на π (т.е. кусочно гладкая замкнутая без самопересечений кривая, располо­женная в D, ограничивает область, все точки которой также D ). Пусть D удовлетворяет условиям:

1) граница С области D является замкнутой кусочно гладкой кривой без особых точек;

2) на π можно выбрать такую декартову прямо­угольную систему координат, что все прямые, параллельные ко­ординатным осям, пересекают D не более чем в 2 точках.

Пусть t - С, согласованный с , т. е. положительное направление обхода кривой С t с направле­нием t С

Т1 (формула Грина). Пусть а - 1), 2), направлению непре­рывна в . Тогда справедлива формула

Справа - циркуляция век­торного поля по кривой С , слева - по­ток векторного поля через D.

Док-во. Все входящие в (1) функции непрерывны => оба интеграла . Интегралы слева и справа в (1) инвариантны относительно выбора прямоугольной системы координат, т.к. и инвариантны, элементы площади и длины дуги не зависят от выбора де­картовой системы координат => достаточно доказать (1) в какой-то одной специально выбранной системе.

Выберем декартову прямоугольную систему координат Охуz так, чтобы выполнялось условие 2), и Оz направим вдоль . Т.к векторное поле плос­кое, то =>

Для плоской области и , где l - длина дуги С , выбранная в качестве параметра, возрастание которого согласовано с направлением обхода С =>

Для доказательства формулы Грина достаточно доказать 2 равенства:

Пусть прямая, парал­лельная оси Оу, пересекает С в точках . Пусть - наименьшая и наибольшая абс­циссы точек области , кривая С 1 соединяет с , а кривая С 2 - с и , ориентированы согласованно с C => по формуле сведения двой­ного интеграла к повторному:

Аналогично вычисляется интеграл J .

З1 . Из док-ва => формулу (1) можно записать в виде (1"):

Ох"у"; а имеет координаты Р" и Q ", то

Якобиан преобразования при переходе к новой систе­ме координат по модулю = 1, параметризация с по­мощью длины дуги не связана с системой координат =>

Пусть D - односвязная область в (т. е. для кусочно гладкой замкнутой кривой C , расположенной в D, можно указать ориентируемую кусочно гладкую поверхность G , расположенную в D, имеющую границей С ), поверхность S - ее граница, удовлетворяющая условиям:

1) S - кусочно гладкая двусторонняя полная ограниченная замкнутая и без особых точек;

2) прямоугольную декартову систему координат в можно выбрать так, что для каждой из осей координат прямая, параллельная этой оси, будет пересекать S не более чем в 2 точках.

Пусть n - единичный вектор внешней нормали к S .

Т2 (формула Остроградского - Гаусса ). Пусть а - векторное поле, дифф-мое в D, удовлетво­ряющей условиям 1), 2), и такое, что производная по на­правлению непрерывна в . Тогда

Cправа - поток векторного поля через поверхность S , слева - это объемный интеграл от дивергенции вектора по области D => Объемный интеграл от дивергенции вектора по области D ра­вен потоку векторного поля через поверхность S - границу этой области.

Док-во Все входящие в (2) функции непрерывны => оба интеграла . Формула (2) инвариантна относительно выбо­ра прямоугольной системы координат, т.к. все входящие в нее величины - инварианты => достаточно доказать (2) при каком-то 1 выборе декартовой системы. Выберем декартову прямоугольную систему координат Охуz так,чтобы выполнялось условие 2) ; пусть => учитывая :

Надо док-ть:

Докажем для L, другие ан-но. Пусть D"- проекция D на плоскость Оху. Через граничные точки D" проведем пря­мые, параллельные Оz. Каждая из них пересекается с S лишь в 1 точке. Множество этих точек разделяет S на 2 части: . Ес­ли провести прямую из внут­ренней точки D" , парал­лельную Оz, то она пересечет S в 2 точках: и . и кусочно и непрерывно дифф-мые функции в D". По формуле све­дения тройного интеграла к повторному интегралу:

Воспользовались тем, что , и соотношением

справедливым, т.к. внешняя нормаль к образует тупой угол с Оz (=> ).

З2 . Из док-ва => формулу (2) мо­жно записать:

Док-во ан-но З1.

Формула Стокса.

Пусть S односвязная (т.е. кусочно гладкая замкнутая без самопересечений кривая, располо­женная на S, ограничивает мн-о, все точки которого S ) поверхность в , удовлетворяющая условиям:

1) S - кусочно гладкая двусторонняя полная ограниченная поверхность без особых точек; ее границей является замкнутый кусочно гладкий контур С ;

2) декартову систему координат можно выбрать так, чтобы S однозначно проектировалась на из 3 координатных плоскостей.

Пусть n - единичный вектор нормали к S , t - единичный век­тор касательной к C , согласованный с n, т. е. положительное направление обхода кривой С совпадает в точке приложения вектора t с направле­нием t , и если смотреть с конца , то кон­тур С ориентирован положительно (его обход против часовой стрелки).

Т (формула Стокса). Пусть а - векторное поле, непрерывно дифф-мое в некоторой окрестности поверх­ности S (т. е. на некотором открытом мн-ве в , содержа­щем S). Тогда

Или: Поток вектора через поверхность S равен циркуляции вектора а по замкнутому контуру С.

Док-во . В силу условий теоремы интегралы в (1) существуют. Формула (1) инвари­антна относительно выбора базиса => достаточно доказать при каком-то одном выборе базиса. Выберем пря­моугольную декартову систему координат Охуz так, чтобы S од­нозначно проектировалась на все три координатные плоскости. Пусть

Согласуем выбор системы координат так, чтобы вектор нор­мали образовывал острые углы с координатными осями. Учитывая выражение для в декартовой системе координат

Достаточно доказать:

S - кусочно гладкая и однозначно проектируется на Оху. Пусть D - ее проекция, Г - проекция С на плоскость Оху => дифф-мая ф-я , ко­торая задает уравнение поверх­ности S . При этом

и поверхностный интеграл по S = двойному интегралу по D . По формуле Грина* :

З1 . δ > 0 такое, что для части Ф S размера < δ (ее можно расположить в сфере радиуса δ/2) можно так выбрать декартову координатную систему, что Ф однозначно проекти­руется на все координатные плоскости. Пусть - фиксированная точка S . Проведем касательную плоскость через ,пусть - вектор единичной нормали поверхно­сти в . Выберем прямоугольную систему координат, чтобы составлял острые углы с осями. Т.к. поле нормалей непрерывно, то окрестность такая, что все нормали в точках этой окрестности обра­зуют острые углы с осями => некоторая окрестность радиуса δ/2 точки , которая однозначно проектируется на все координатные плоскости.

Можно выбрать универсаль­ное, не зависящее от число δ > 0. Пусть такого δ => для каждого можно указать часть поверхности S , размеры которой < и которая не проектируется однозначно на все координатные плоскости декартовой системы коор­динат.

Выберем в каждой точку , из полученной после­д-сти выберем послед-сть, сходящуюся к неко­торой М S . У М окрестность, однозначно проектируемая на координатные плоскости некоторой прямоугольной системы. Эта окрестность для некоторого номера п содержит часть , которая также будет однозначно проектироваться на все три координатные плоскости => противоречие с вы­бором .

Разобьем S на конечное число гладких частей , размер каждой из которых < δ, указанного выше. однозначно проектируется на все координатные плос­кости некоторой декартовой системы координат => формула Стокса верна для каждой . Просуммируем левые и пра­вые части этих формул. Интегралы по общим участкам границы берутся в противоположных направлениях и поэтому сокра­тятся => слева получим интеграл по поверхности от , а справа - интеграл по границе С от , т. е. формулу Стокса для общего случая => формулы Стокса справедлива для поверхностей, удовлетворяющих условию 1) и не удовлетворяющих, вообще говоря, условию 2).

З 2 . Формула Стокса верна для поверхностей S , допускающих разбиение с помощью кусочно гладких кривых на конечное число односвязных, обладающих свойством 1) по­верхностей. Док-во: просуммировать интегралы слева и справа в формулах Стокса для односвязных поверхностей и учесть, что интегралы по кри­вым, входящим в разбиение, берутся в разных направлениях и поэтому сократятся.

З3 . Из док-ва => формулу (1) мо­жно записать в виде (1"):

Интегралы слева и справа в (1") инвариантны, т.к. значения подынтеграль­ных выражений равны соответ­ственно и - инвариантным величинам. Форма подынтегральных выражений в формуле (1") тоже не меняется при переходе к новой системе Ох"у" z"; если в новом базисе векторное поле а имеет координаты Р" , Q " и R" , то

Якобиан преобразования при переходе к новой систе­ме координат по модулю = 1, параметризация с по­мощью длины дуги не связана с системой координат => интегралы слева и справа в (1") не меняют своего значения и формы.

*: π - плоскость в , - единичный вектор нормали к π, D - односвязная область на π. Пусть D удовлетворяет условиям: 1) граница С области D является замкнутой кусочно гладкой кривой без особых точек; 2) на π можно выбрать такую декартову прямо­угольную систему координат, что все прямые, параллельные ко­ординатным осям, пересекают D не более чем в 2 точках.

Пусть t - единичный вектор касательной к кривой С, согласованный с .

Т1 (формула Грина). Пусть а - векторное поле, дифф-мое в D, удовлетворяющей условиям 1), 2), и такое, что его производная по направлению непре­рывна в . Тогда справедлива формула

Связь между двойным интегралом по области D и криволинейным интегралом по границе L этой области устанавливает формула Остроградского – Грина, которая широко применяется в математическом анализе.

Пусть на плоскости Оху задана область D , ограниченная кривой, пересекающейся с прямыми, параллельными координатными осями не более чем в двух точках, т.е. область D – правильная.

Теорема 10.2. Если функции P (x ; y ) и Q (x ; y ) непрерывны вместе со своими частными производными ив областиD , то имеет место формула

(10.8)

где L – граница области D и интегрирование вдоль кривой L производится в положительном направлении (т.е. при движении вдоль кривой, область D остается слева).

Формула (10.8) называется формулой Остроградского – Грина.

Пусть
- уравнение дугиAnB , а
- уравнение дугиAmB (см. рис. 8). Найдем сначала
.По правилу вычисления двойного интеграла, имеем:

Или согласно формуле (10.6), Рис. 8.

Аналогично доказывается, что
(10.10)

Если из равенства (10.10) вычесть равенство (10.9), то получим формулу (10.8).

Замечание. Формула (10.8) справедлива и для произвольной области, которую можно разбить на конечное число правильных областей.

Пример 10.3. С помощью формулы Остроградского – Грина вычислить

где L – контур прямоугольника с вершинами А (3;2 ), В (6;2 ), С (6;4 ), D (3;4 ).

○ Решение: На рисунке 9 изображен контур интегрирования. Поскольку

по формуле (10.8) имеем:

10.4. Условия независимости криволинейного интеграла II рода от пути интегрирования

П
устьA (x 1 ; y 1) и B (x 2 ; y 2) – две произвольные точки односвязной области D плоскости Оху (плоскость D называется односвязной , если для любого замкнутого контура, лежащего в этой области, ограниченная им часть плоскости целиком принадлежит D (область без «дыр»)). Точки А и В можно соединить различными линиями (на рис. 10 это L 1 , L 2 и L 3). По каждой из этих кривых интеграл
имеет, вообще говоря, свое значение.

Если же его значения по всевозможным кривым AB одинаковы, то говорят, что интеграл I не зависит от вида пути интегрирования.

Рис. 10. В этом случае для интеграла I достаточно отметить лишь его начальную точку A (x 1 ; y 1 ) и его конечную точку B (x 2 ; y 2 ) пути. Записывают:

(10.11)

Каковы же условия, при которых криволинейный интеграл II рода не зависел от вида пути интегрирования?

Теорема 10.3. Для того, что бы криволинейный интеграл
не зависел от пути интегрирования в односвязной областиD , в которой функции P (x ; y ), Q (x ; y ) непрерывны вместе со своими частными производными, необходимо и достаточно, что бы в каждой точке этой области выполнялось условие=(10.12)

Докажем достаточность условия (10.12). Рассмотрим произвольный замкнутый круг AmBnA (или L ) в области D (см. рис. 11). Для него имеет место формула Остроградского – Грина (10.8) В силу условия (10.12) имеем:
, или
. Учитывая свойства криволинейного интеграла, имеем:

, т.е.

Полученное равенство означает, что криволинейный интеграл не зависит о пути интегрирования.

Рис.11. В ходе доказательства теоремы получено, что если выполняется условие =, то интеграл по замкнутому кругу равен нулю:

Верно и обратное утверждение.

Следствие 10.1. Если выполняется условие (10.12), то подынтегральное выражение является полным дифференциалом некоторой функцииu = u (x ; y ), т.е.

Тогда (см. (10.11))

Формула (10.14) называется обобщенной формулой Ньютона – Лейбница для криволинейного интеграла от полного дифференциала.

Следствие 10.2. Если подынтегральное выражение Pdx + Qdy есть полный дифференциал и путь интегрирования L замкнутый, то
.

Замечания:

В качестве начальной точки (x 0 ; y 0) обычно берут точку (0;0) – начало координат (см. пример 10.5).

= ,=,=;

Пример 10.4. Найти

Решение: Здесь P = y , Q = x , == 1. Согласно вышеприведенной теореме, интеграл не зависит от пути интегрирования. В качестве пути интегрирования можно взять отрезок прямой y = x , дугу параболы y = x 2 и т. д. или воспользоваться формулой (10.14). Так как ydx + xdy = d(xy) , то

Пример 10.5. Убедиться, что выражение представляет собой полный дифференциал функцииU (x ; y ) и найти ее.

Решение: Для того чтобы указанное выражение являлось полным дифференциалом, необходимо выполнение условий (10.12):

Условия выполнены, следовательно, А так как полный дифференциал имеет вид

,

то верны соотношения

(10.16)

Интегрируем по х первое из уравнений, считая у постоянным, при этом вместо постоянно интегрирования следует поставить
- неизвестную функцию зависящую только оту :

Подставляя полученное выражение во второе уравнение (10.16), найдем
:

Таким образом,

Отметим, что функцию U проще найти, используя формулу (10.15).