Урок на тему "Корни многочлена. Схема Горнера"

1. Разделить 5x 4 + 5 x 3 + x 2 − 11 на x − 1 , используя схему Горнера.

Решение:

Составим таблицу из двух строк: в первой строке запишем коэффициенты многочлена 5x 4 +5x 3 +x 2 −11, расположенные по убыванию степеней переменной x . Заметьте, что данный многочлен не содержит x в первой степени, т.е. коэффициент перед x в первой степени равен 0. Так как мы делим на x −1, то во второй строке запишем единицу:

Начнем заполнять пустые ячейки во второй строке. Во вторую ячейку второй строки запишем число 5 , просто перенеся его из соответствующей ячейки первой строки:

Следующую ячейку заполним по такому принципу: 1⋅ 5 + 5 = 10 :

Аналогично заполним и четвертую ячейку второй строки: 1⋅ 10 + 1 = 11 :

Для пятой ячейки получим: 1⋅ 11 + 0 = 11 :

И, наконец, для последней, шестой ячейки, имеем: 1⋅ 11 + (−11)= 0 :

Задача решена, осталось только записать ответ:


Как видите, числа, расположенные во второй строке (между единицей и нулём), есть коэффициенты многочлена, полученного после деления 5x 4 +5x 3 +x 2 −11 на x −1. Естественно, что так как степень исходного многочлена 5x 4 +5x 3 +x 2 −11 равнялась четырём, то степень полученного многочлена 5x 3 +10x 2 +11x +11 на единицу меньше, т.е. равна трём. Последнее число во второй строке (ноль) означает остаток от деления многочлена 5x 4 +5x 3 +x 2 −11 на x −1.
В нашем случае остаток равна нулю, т.е. многочлены делятся нацело. Этот результат ещё можно охарактеризовать так: значение многочлена 5x 4 +5x 3 +x 2 −11 при x =1 равно нулю.
Можно сформулировать вывод и в такой форме: так как значение многочлена 5x 4 +5x 3 +x 2 −11 при x =1 равно нулю, то единица является корнем многочлена 5x 4 +5x 3 +x 2 −11.

2. Найдите неполное частное, остаток от деления многочлена

А (х ) = х 3 – 2х 2 + 2х – 1 на двучлен х – 1.

Решение:

– 2

– 1

α = 1

– 1

Ответ: Q (x ) = х 2 – х + 1 , R (x ) = 0.

3. Вычислите значение многочлена А (х ) при х = – 1, если А (х ) = х 3 – 2 х – 1.

Решение:

– 2

– 1

α = – 1

– 1

– 1

Ответ:А (– 1) = 0.

4. Вычислите значение многочлена А (х ) при х = 3, неполное частное и остаток, где

А (х )= 4 х 5 – 7х 4 + 5х 3 – 2 х + 1.

Решение:

– 7

– 2

α = 3

178

535

Ответ: R (x ) = A (3) = 535, Q (x ) = 4 х 4 + 5х 3 + 20х 2 + 60х +178.

5. Найдите корни уравнения х 3 + 4 х 2 + х – 6 = 0.

Решение:

Находим делители свободного члена ±1; ± 2; ± 3; ± 6

Здесь, а = 1 (х – 1 = х – а), а коэффициенты многочлена-делимого равны соответственно
1, 4, 1, – 6. Строим таблицу для применения схемы Горнера:

Слайд 3

Горнер Вильямc Джордж (1786-22.9.1837)-английский математик. Родился в Бристоле. Учился и работал там же, затем в школах Бата. Основные труды по алгебре. В 1819г. опубликовал способ приближенного вычисления вещественных корней многочлена, который называется теперь способом Руффини-Горнера (этот способ был известен китайцам еще в XIII в.) Именем Горнера названа схема деления многочлена на двучлен х-а.

Слайд 4

СХЕМА ГОРНЕРА

Способ деления многочлена n-й степени на линейный двучленх - а, основанный на том, что коэффициенты неполного частного и остатокr связаны с коэффициентами делимого многочлена и с а формулами:

Слайд 5

Вычисления по схеме Горнера располагают в таблицу:

Пример 1. Разделить Неполное частное равно х3-х2+3х - 13 и остаток равен 42=f(-3).

Слайд 6

Основным преимуществом этого метода является компактность записи и возможность быстрого деления многочлена на двучлен. По сути, схема Горнера является другой формой записи метода группировки, хотя, в отличие от последнего, является совершенно ненаглядной. Ответ (разложение на множители) тут получается сам собой, и мы не видим самого процесса его получения. Мы не будем заниматься строгим обоснованием схемы Горнера, а лишь покажем, как она работает.

Слайд 7

Пример2.

Докажем, что многочлен Р(х)=х4-6х3+7х-392 делится на х-7,и найдем частное от деления. Решение. Используя схему Горнера, найдем Р(7): Отсюда получаем Р(7)=0, т.е. остаток при делении многочлена на х-7 равен нулю и, значит, многочлен Р(х) кратен (х-7).При этом числа во второй строке таблицы являются коэффициентами частного от деления Р(х) на (х-7), поэтому Р(х)=(х-7)(х3+х2+7х+56).

Слайд 8

Разложить на множители многочлен x3 – 5x2 – 2x + 16.

Данный многочлен имеет целые коэффициенты. Если целое число является корнем этого многочлена, то оно является делителем числа 16. Таким образом, если у данного многочлена есть целые корни, то это могут быть только числа ±1; ±2; ±4; ±8; ±16. Непосредственной проверкой убеждаемся, что число 2 является корнем этого многочлена, то есть x3 – 5x2 – 2x + 16 = (x – 2)Q(x), где Q(x) − многочлен второй степени

Слайд 9

Полученные числа 1, −3, −8 являются коэффициентами многочлена, который получается при делении исходного многочлена на x – 2. Значит, результат деления: 1 · x2 + (–3)x + (–8) = x2 – 3x – 8. Степень многочлена, полученного в результате деления, всегда на 1 меньше, чем степень исходного. Итак: x3 – 5x2 – 2x + 16 = (x – 2)(x2 – 3x – 8).

Ранее понятие многочлена было определено как алгебраическая сумма одночленов. Если все подобные одночлены многочлена приведены и расположены в порядке убывания степени переменной, то полученная запись называется канонической формой записи многочлена.

Определение. Выражение вида

где x – некоторая переменная, действительные числа, причем , называется многочленом степени n от переменной x . Степенью многочлена является наибольшая степень переменной в его канонической записи. Если переменная не встречается в записи многочлена, т.е. многочлен равен константе, его степень считается равной 0. Случай, когда многочлен необходимо рассматривать отдельно. В этом случае принято считать, что его степень не определена.

Примеры. многочлен второй степени,

многочлен пятой степени.

Определение. Два многочлена равны тогда и только тогда, когда у них в канонических формах при одинаковых степенях стоят одинаковые коэффициенты.

Определение . Число называется корнем многочлена , если при постановке этого числа вместо x многочлен принимает значение 0, т.е. Другими словами, будет являться корнем уравнения

Таким образом, задача отыскания всех корней многочлена и корней рационального уравнения – одна и та же задача.

Рациональные уравнения первой и второй степени решаются по известным алгоритмам. Существуют также формулы отыскания корней многочленов третьей и четвертой степени (формулы Кардано и Феррари), однако в силу их громоздкости они не входят в курс элементарной математики.

Общей идеей отыскания корней многочленов высших степеней является разложение многочлена на множители и замена уравнения равносильной ему совокупностью уравнений более низкой степени.

В предыдущих темах отмечались основные способы разложения многочленов на множители: вынесение общего множителя; группировка; формулы сокращенного умножения.

Однако способ группировки не носит алгоритмического характера, поэтому его трудно применять для многочленов больших степеней. Рассмотрим некоторые дополнительные теоремы и методы, позволяющие раскладывать на множители многочлены высших степеней.

Теорема о делении с остатком. Пусть даны многочлены , причем степень отлична от 0, и степень больше степени . Тогда существуют многочлены , такие, что выполняется равенство

Причем, степень меньше степени Многочлен называется делимым , многочлен делителем, многочлен неполным частным , а многочлен остатком .

Если остаток от деления равен 0, то говорят, что делится на нацело , при этом равенство принимает вид:

Алгоритм деления многочлена на многочлен аналогичен алгоритму деления числа на число столбиком или уголком. Опишем шаги алгоритма.

    Записать делимое в строчку, включая все степени переменной (те, которые отсутствуют, записать с коэффициентом 0).

    Записать в «уголке» делимое, включая все степени переменной.

    Чтобы найти первое слагаемое (одночлен) в неполном частном, нужно старший одночлен делимого разделить на старший одночлен делителя.

    Полученное первое слагаемое частного умножить на весь делитель и результат записать под делимым, причем одинаковые степени переменной записать друг под другом.

    Из делимого вычесть полученное произведение.

    К полученному остатку применить алгоритм, начиная с пункта 1).

    Алгоритм завершен, когда полученная разность будет иметь степень меньше степени делителя. Это – остаток.

Пример . Разделить многочлен на .

    Записываем делимое и делитель

    Повторяем процедуру

Степень меньше степени делителя. Значит, это – остаток. Результат деления запишется так:

Схема Горнера. Если делителем является многочлен первой степени, то процедуру деления можно упростить. Рассмотрим алгоритм деления многочлена на двучлен .

Пример . Разделить по схеме Горнера многочлен на . В этом случае а =2. Выпишем по шагам результаты выполнения алгоритма.

Шаг первый.
Шаг второй
Шаг третий
Шаг четвертый

Таким образом, результат деления запишем так

Замечание. Если необходимо выполнить деление на двучлен

То его преобразовывают к виду тогда . Отсюда видно, что, разделив по схеме Горнера на мы найдем Тогда искомое частное получится делением найденного на а . Остаток остается таким же.

Теорема Безу . Остаток от деления многочлена на равен значению многочлена в точке x = а , т.е. . Многочлен делится на без остатка тогда и только тогда, когда x = а является корнем многочлена .

Таким образом, найдя один корень многочлена а , можно его разложить на множители , выделив множитель , имеющий степень на единицу меньше степени . Найти этот множитель можно либо по схеме Горнера, либо делением «уголком».

Вопрос о нахождении корня решается либо подбором, либо с использованием теоремы о рациональных корнях многочлена.

Теорема. Пусть многочлен имеет целые коэффициенты. Если несократимая дробь является корнем многочлена, то ее числитель p является делителем свободного члена , а знаменатель q является делителем старшего коэффициента .

Эта теорема лежит в основании алгоритма поиска рациональных корней многочлена (если они есть).

Разложение алгебраической дроби в сумму простейших дробей

Определение Дробь, в числителе и в знаменателе которой стоят многочлены, называется алгебраической дробью .

Рассмотрим алгебраические дроби от одной переменной. Их в общем виде можно записать так: , где в числителе стоит многочлен степени n , в знаменателе – многочлен степени k . Если , то дробь называется правильной .

К простейшим алгебраическим дробям относятся правильные дроби двух видов:

Теорема. Любую алгебраическую дробь можно представить в виде суммы простейших алгебраических дробей.

Алгоритм разложения алгебраической дроби в сумму простейших дробей.

    Разложить знаменатель на множители.

    Определить количество правильных дробей и вид их знаменателей.

    Записать равенство, в левой части которого – исходная дробь, в правой – сумма простейших дробей с неопределенными коэффициентами.

    Привести дроби в правой части к общему знаменателю.

    Приравнять многочлены, стоящие в числителях дробей. Пользуясь определением равенства многочленов, составить систему линейных уравнений и решить ее, найдя неопределенные коэффициенты.

    Министерство образования и молодёжной политики Чувашской Республики

    БОУ ДП(ПК)С «Чувашский институт образования» Минобразования Чувашии

    Курсовая работа

    Элективный курс « Приёмы и методы решения уравнений высших степеней»

    Выполнила учитель математики

    МБОУ «СОШ №49 с углубленным

    изучением отдельных предметов»

    г. Чебоксары

    Румянцева Юлия Изосимовна

    Г. Чебоксары

    Тема урока: Корни многочлена. Схема Горнера

    Цель урока:

      научить находить значение многочлена, его корни, используя теорему Безу, схему Горнера;

      формировать умения и навыки в нахождении корней многочленов;

      научить обобщать и систематизировать материал;

      развивать вычислительные навыки, концентрацию внимания, функции самоконтроля;

      воспитывать требовательность к себе, усердие.

    План урока:

    I. Организационный момент

    VI. Самостоятельная работа

    VIII. Задание на дом

    ХОД УРОКА

    I. Организационный момент

    Сообщить тему урока, сформулировать цели урока.

    II. Актуализация знаний учащихся

    1. Проверка домашнего задания.

    а) Найти НОД ((x 6 – 1);(x 8 – 1)) по алгоритму Евклида (ученик готовит на доске) .

    Решение :

    НОД ((x 6 – 1);(x 8 – 1)) = x 2 – 1.

    Ответ : x 2 – 1 .

    б) Узнайте, делится ли многочлен f(x) = x 5 – 5 x 4 + 8 x 3 – 5 x 2 + x + 2 на (x – 1), (x + 1), (x – 2) (проверяется фронтально).

    Решение . По теореме Безу, если f(1) = 0 , то f(x) делится на (x – 1) . Проверим это.

    f(1) = 1 – 5 + 8 – 5 + 1 + 2 > 0, f(x) не делится на (x – 1);
    f(–1) = – 1 – 5 – 8 – 5 – 1 + 2 < 0, f(x) не делится на (x + 1);
    f(2) = 32 – 80 + 64 – 20 + 4 = 0, f(x) делится на (x – 2).

    Ответ : делится на (x – 2).

    в) Многочлен P(x) при делении на (x – 1) дает остаток 3, а при делении на (x – 2) дает остаток 5. Найти остаток от деления многочлена P(x) на (x 2 – 3 x + 2).

    (Решение проектируется на экран или заранее написать на доску).

    Решение .

    P(x) = (x – 1) Q 1 (x) + 3 (1)
    P(x) = (x – 2) Q 2 (x) + 5 (2)
    Из (1) и (2) следует, что P(1) = 3 , P(2) = 5 .
    ПустьP(x) = (x 2 – 3 x + 2) Q (x) + a x + b или
    P(x) = (x – 1) (x – 2) Q (x) + a x + b (3)

    Подставив в (3) последовательно x = 1 и x = 2, получим систему уравнений, из которой a = 2, b = 1.

    Ответ : 2 x + 1.

    г) При каких m и n многочлен x 3 + m x + n при любых x делится на x 2 + 3 x + 10 без остатка.

    Решение . При делении “уголком” получим x 3 + m x + n = (x 2 + 3 x + 10) (x – 3) + ((m – 1) x + (n + 30)).

    Т.к. деление выполняется без остатка, то (m – 1) x + (n + 30) = 0, а это возможно (при любом x) только в случае, когда m = 1, n = –30.

    Ответ : m = 1, n = –30.

    2. Теоретический опрос

    а) Как читается теорема

    б) Привести пример, где используется теорема Безу?

    в) Из правила перемножения двух многочленов как найти старший коэффициент произведения?

    г) Имеет ли степень нулевой многочлен?

    III. Подготовка к изучению нового материала

    В многочлен, как и в любое буквенное выражение, можно вместо переменной подставлять числа, и в результате он превращается в числовое выражение, то есть, в конечном счете, в число. Сделаем два важных для решения задач замечания:

      Значение f(0) равно свободному члену многочлена.

      Значение f(1) равно сумме коэффициентов многочлена.

    Нахождение значений многочлена не представляет никаких принципиальных трудностей, однако вычисления при этом могут оказаться достаточно громоздкими. Для упрощения вычислений существует прием, называемый схемой Горнера – по имени английского математика XVI века. Эта схема состоит в заполнении некоторой таблицы из двух строк.

    Например, чтобы вычислить значение многочлена f(x) = 2 x 4 – 9 x 3 – 32 x 2 – 57 при x = 7 (то есть узнать делится ли он на (x – 7) по теореме Безу), надо подставить вместо x число 7 . Если f(7) = 0, то f(x) делится без остатка. Если f(7) не равно 0, то f(x) делится на (x – 7) с остатком. Чтобы облегчить нахождение значения f(7) применим схему Горнера. Заполним таблицу из двух строк по следующему алгоритму:

    1. Строка коэффициентов записывается первой.
    2. Старший коэффициент дублируется во второй строке, а перед ним ставится значение переменной (в нашем случае число 7), при котором вычисляем значение многочлена.

    Получается таблица, пустые клетки которой надо заполнить.

    Таблица 1

    3. Это делается по единому правилу: для пустой клетки, стоящей справа, число 2 умножается на 7 и складывается с числом, стоящим над пустой клеткой. Ответ записывается в первую пустую клетку. Так делают для заполнения остальных пустых клеток. Поэтому, в первой пустой клетке ставится число 2 7 – 9 = 5, во второй пустой клетке ставится число 5 7 – 32 = 3, в третьей ставится число 3 7 + 0 = 21, а в последней 21 7 – 57 = 90. Полностью эта таблица выглядит так:

    Таблица 2

    Последнее число второй строки является ответом.

    Замечание: программа для вычисления значений многочлена в ЭВМ составляется по схеме Горнера.

    IV. Закрепление изученного материала

    Рассмотрим решение домашнего задания № 1 (б) по схеме Горнера. Итак, применяя схему Горнера, узнайте, делится многочлен (x) = x 5 – 5 x 4 + 8 x 3 – 5 x 2 + x + 2 на (x – 1), (x + 1), (x – 2). Если требуется проверить несколько значений, то для экономии выкладок строят одну объединенную схему.

    Таблица 3

    В последнем столбце в третьей, четвертой и пятой строках – остатки от деления. Тогда f(x) делится без остатка на (x – 2), т.к. r = 0.

    V. Нахождение корней многочлена

    Теорема Безу дает возможность, найдя один корень многочлена, искать далее корни многочлена, степень которого на единицу меньше. Иногда этим приемом – он называется “понижением степени” – можно найти все корни многочлена.

    В частности, подобрав один корень кубического уравнения, тем самым понизив степень, можно его полностью решить, решив полученное квадратное уравнение.

    При решении таких задач большую пользу приносит та же схема Горнера. Однако, на самом деле схема Горнера дает гораздо больше: числа, стоящие во второй строке (не считая последнего) – это коэффициенты частного отделения на (x – a).

    В таблице 3:

    Пример 1. Найти корни многочлена f(x) = (x 4 – x 3 – 6 x 2 – x + 3).

    Решение . Делители свободного члена: – 1, 1, – 3, 3 могут быть корнями многочлена. При x = 1 очевидно сумма коэффициентов равна нулю. Значит, x 1 = 1 – корень. Проверим по схеме Горнера на корень число – 1 и другие делители свободного члена.

    Таблица 4

    x = –1 - корень
    второй раз x = –1 - не корень
    проверим x = 3
    x = 3 – корень.
    f(x) = (x + 1) (x – 3) (x 2 + x – 1), x 2 + x – 1 = 0,

    Замечание . При нахождении корней многочлена не следует проводить лишних точных вычислений в тех случаях, когда очевидные грубые оценки приводят к нужному результату.
    Например, схема Горнера для проверки значений 31 и – 31 как “кандидатов в корни” многочлена x 5 – 41 x 4 + 32 x 2 – 4 x + 31 может выглядеть следующим образом:

    Таблица 5

    31 и – 31 не являются корнями многочлена x 5 – 41 x 4 + 32 x 2 – 4 x + 31.

    Пример 2. Найти корни многочлена f (x) = x 4 + 2 x 3 – 6 x 2 – 22 x + 55.

    Решение . Делители 55: – 1, 1, – 5, 5, – 11, 11, – 55, 55. Заметим, что – 1 и 1 не являются корнями многочлена. Следует проверить остальные делители.

    Замечание . Очень важно учащимся овладеть “длинной” схемой Горнера. В данном примере как раз удобна “длинная” схема.

    Таблица 6

    x 2 + 57 x + 3 129 = 0, корней нет.

    Ответ: корней нет.

    VI. Самостоятельная работа

    На доске три человека решают для последующей проверки.

    Найти корни многочлена по схеме Горнера:

    а) f (x) = x 3 + 2 x 2 – 5 x – 6;

    Ответ: – 1; 2; – 3.

    б) f (x) = x 5 – 5 x 4 + 6 x 3 – x 2 + 5 x – 6;

    Ответ: 1; 2; 3.

    в) f (x) = x 4 + 12 x 3 + 32 x 2 – 8 x – 4.

    Ответ:

    (Проверка осуществляется в парах, выставляются оценки).

    VII. Исследовательская работа учащихся

    – Ребята, вы не заметили, какие многочлены в основном мы разбирали на уроках?

    (Ответы учащихся).

    – Да, это многочлены с целыми коэффициентами и со старшим членом k = 1.

    – В каких числах получались ответы?

    (Ответы учащихся).

    – Правильно, корни многочлена с целыми коэффициентами и со старшим членом k = 1 либо целое, либо иррациональное, либо целые и иррациональные, либо не имеют корней. Запишите вывод в своих тетрадях.

    VIII. Задание на дом

    1. № 129 (1, 3, 5, 6) – Н. Я. Виленкин – 10, стр. 78.
    2. Выучить теорию данного урока.

    IX. Подведение итогов урока и выставление отметок

    Литература

      М.Л. Галицкий. Углубленное изучение алгебры и математического анализа. // Просвещение, 1997 г.

      Г.В. Дорофеев. Многочлены с одной переменной. // Санкт-Петербург. Специальная литература, 1997 г.

    Н.Я. Виленкин. Алгебра и математический анализ. 10 класс // Просвещени е

    Пояснительная записка.

    Курс разработан для учащихся 10 класса физико-математического профиля, имеющих хороший уровень математической подготовки, и призван помочь им подготовиться к разным конкурсам и олимпиадам по математике, способствовать продолжению серьёзного математического образования. Он расширяет базовый курс по математике, является предметно-ориентированным и даёт учащимся возможность познакомиться с интересными, нестандартными вопросами математики, и методами решения уравнений высших степеней. В курсе заложена возможность дифференцированного обучения.

    Ориентируя школьников на поиски красивых, изящных решений решения уравнений высших степеней, учитель тем самым способствует эстетическому воспитанию учащихся и повышению их математической культуры. Курс является продолжением учебника, где предусматривается обучение школьников способам самостоятельной работы, приёмам решения уравнений высших степеней. Осуществляя целенаправленное обучение школьников решению уравнений высших степеней, следует учить их наблюдать, пользоваться аналогией, индукцией, сравнениями и делать соответствующие выводы. Необходимо через уравнения высших степеней прививать учащимся не только навыки логического рассуждения, но и прочные навыки эвристического мышления.

    Цели и задачи курса.

      Развитие интереса к математике, эвристического мышления.

      Способствовать продолжению серьёзного математического образования.

      Научить осуществлять выбор рационального метода решения задач и обосновывать сделанный выбор.

      Способствовать формированию научного стиля мышления.

      Подготовиться к ЕГЭ.

    Данный элективный курс рассчитан 34 тематических занятий.

    Учащимся сообщается цель и назначение элективного курса. Занятия включают в себя теоретическую и практическую части – лекции, консультации практикумы, самостоятельную и исследовательскую работу.

    Изучение основных положений теории многочленов позволяет обобщить терему Виета для урвнений любой степени. Умение выполнять действия делений многочленов облегчит в дальнейшем решение задач из математического анализа.

    Изучение схемы Горнера и теоремы о рациональных корнях многочлена даёт общий метод разложения на множители любого алгебраического выражения. В свою очередь умение решать уравнения высших степеней позволит знаительно расширить круг показательных, логарифмических, тригонометрических и иррациональных уравнений и неравенств.

    Литература

    1. Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов.

    2 Вавилов В.В., Мельников И.И., Олехник С.Н., ПасиченкоП.И Задачи по математике. Алгебра.

    3 Олехник С.Н., ПасиченкоП.И. Нестандартные методы решения уравнений и неревенств.

    4 ..Вавилов В.В., Мельников И.И., Олехник С.Н., ПасиченкоП.И. Уравнения и неравенства.

    5. Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике.

    Цели и задачи курса 1

    Литература 4

    Приложение 6

    В этой статье мы расскажем об удобной схеме решения примеров на деление многочленов. Если нам нужно вычислить коэффициент частного P n (x) = a n a n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 и остаток от деления многочлена на линейный двучлен x - s , то удобно будет воспользоваться схемой (методом) Горнера.

    Она заключается в создании особой таблицы и занесении в нее исходных данных:

    Числа b n , b n - 1 , b n - 2 , . . . , b 1 и будут нужными нам коэффициентами от деления P n (x) = a n a n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 на x - s . Остаток обозначен здесь как b 0 . Иначе можно записать решение так:

    Теперь покажем, как именно применять эту схему на практике.

    Пример 1

    Условие: разделите многочлен 2 x 4 - 3 x 3 - x 2 + 4 x + 13 на линейный двучлен х - 1 , используя схему Горнера.

    Решение

    Заполним таблицу. У нас есть s , равный единице, и коэффициенты a 4 = 2 , a 3 = - 3 , a 2 = - 1 , a 1 = 4 , a 0 = 13 .

    Ответ: получили частное, равное b 4 x 3 + b 3 x 2 + b 2 x + b 1 = 2 x 3 - x 2 - 2 x + 2 , и остаток b 0 = 15 .

    Во второй задаче мы обойдемся без подробных комментариев.

    Пример 2

    Условие: определите, можно ли разделить многочлен 2 x 3 - 11 x 2 + 12 x + 9 на двучлен x + 1 2 без остатка. Вычислите частное.

    Решение

    Заполним таблицу согласно схеме Горнера.

    В последней ячейке мы видим нулевой остаток, следовательно, разделить исходный многочлен на двучлен можно.

    Ответ: частное будет представлять из себя многочлен 2 x 2 - 12 x + 18 .

    Если b 0 = 0 , то можно говорить о делимости многочлена P n (x) = a n a n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 на двучлен x - s , и мы имеем корень исходного многочлена, равный s . Используя следствие из теоремы Безу, можем представить этот многочлен в виде произведения:

    P n (x) = a n a n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = = x - s (b n x n + 1 + b n - 1 x n - 2 + . . . + b 1)

    Благодаря этому схема Горнера хорошо подходит для тех случаев, когда нужно отыскать целые корни уравнений высших степеней, имеющих целые коэффициенты, или же разложить многочлен на простые множители.

    Пример 3

    Условие: решите уравнение x 3 - 7 x - 6 = 0 . Разложите многочлен слева на отдельные множители.

    Решение

    Мы знаем, что целые корни уравнения (если они есть) нужно искать среди делителей свободного члена. Запишем их отдельно 1 , - 1 , 2 , - 2 , 3 , - 3 , 6 , - 6 и проверим, используя схему Горнера.

    Из данных таблицы видно, что единица не будет входить в число корней данного уравнения.

    Дополним таблицу еще одним возможным корнем.

    А вот - 1 подходит, значит, мы можем представить исходный многочлен как x 3 - 7 x - 6 = (x + 1) (x 2 - x - 6) .

    Из этого следует, что - 1 не будет кратным (повторяющимся) корнем. Берем следующий вариант и вычисляем:

    x i коэффициенты многочленов
    a 3 = 1 a 2 = 0 a 1 = - 7 a 0 = - 6
    1 1 0 + 1 · 1 = 1 - 7 + 1 · 1 = - 6 - 6 + - 6 · 1 = - 12
    - 1 1 0 + 1 · (- 1) = - 1 - 7 + - 1 · - 1 = - 6 - 6 + (- 6) · (- 1) = 0
    - 1 1 - 1 + 1 · - 1 = - 2 - 6 + - 2 · - 1 = - 4
    2 1 - 1 + 1 · 2 = 1 - 6 + 1 · 2 = - 4

    Число 2 не входит в число корней уравнения. Дополним таблицу Горнера для х = - 2:

    x i коэффициенты многочленов
    a 3 = 1 a 2 = 0 a 1 = - 7 a 0 = - 6
    1 1 0 + 1 · 1 = 1 - 7 + 1 · 1 = - 6 - 6 + - 6 · 1 = - 12
    - 1 1 0 + 1 · (- 1) = - 1 - 7 + - 1 · - 1 = - 6 - 6 + (- 6) · (- 1) = 0
    - 1 1 - 1 + 1 · - 1 = - 2 - 6 + - 2 · - 1 = - 4
    2 1 - 1 + 1 · 2 = 1 - 6 + 1 · 2 = - 4
    - 2 1 - 1 + 1 · - 2 = - 3 - 6 + - 3 · - 2 = 0

    Минус два будет корнем исходного уравнения. Мы можем записать многочлен так:

    x 3 - 7 x - 6 = (x + 1) (x 2 - x - 6) = = (x + 1) (x + 2) (x - 3)

    Третий и последний корень уравнения будет равен трем. Закончим заполнение таблицы, взяв значения последней полученной строки в качестве коэффициентов:

    x i коэффициенты многочленов
    a 3 = 1 a 2 = 0 a 1 = - 7 a 0 = - 6
    1 1 0 + 1 · 1 = 1 - 7 + 1 · 1 = - 6 - 6 + - 6 · 1 = - 12
    - 1 1 0 + 1 · (- 1) = - 1 - 7 + - 1 · - 1 = - 6 - 6 + (- 6) · (- 1) = 0
    - 1 1 - 1 + 1 · - 1 = - 2 - 6 + - 2 · - 1 = - 4
    2 1 - 1 + 1 · 2 = 1 - 6 + 1 · 2 = - 4
    - 2 1 - 1 + 1 · - 2 = - 3 - 6 + - 3 · - 2 = 0
    3 1 - 3 + 1 · 3 = 0

    Из этого можно сделать вывод, что последняя полученная таблица, заполненная по методу Горнера, и будет решением нашего примера. Эту задачу можно было решить и делением многочлена на линейный двучлен столбиком, однако показанная здесь схема нагляднее и проще.

    Ответ: х = - 1 , х = - 2 , х = 3 , x 3 - 7 x - 6 = (x + 1) (x + 2) (x - 3) .

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter