Пирамида. Прямоугольный параллелепипед

Когда вы были маленькими и играли кубиками, то, возможно, складывали фигуры, изображенные на рисунке 154 . Эти фигуры дают представление о прямоугольном параллелепипеде . Форму прямоугольного параллелепипеда имеют, например, коробка конфет, кирпич, спичечный коробок, упаковочный ящик, пакет сока.

На рисунке 155 изображен прямоугольный параллелепипед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 .

Прямоугольный параллелепипед ограничен шестью гранями . Каждая грань − это прямоугольник, т.е. поверхность прямоугольного параллелепипеда состоит из шести прямоугольников.

Стороны граней называют ребрами прямоугольного параллелепипеда , вершины граней − вершинами прямоугольного параллелепипеда . Например, отрезки AB, BC, A 1 B 1 − ребра, а точки B, A 1 , C 1 − вершины параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 (рис. 155 ).

У прямоугольного параллелепипеда 8 вершин и 12 ребер.

Грани AA 1 B 1 B и DD 1 C 1 C не имеют общих вершин. Такие грани называют противолежащими . В параллелепипеде ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 есть еще две пары противолежащих граней: прямоугольники ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1 , а также прямоугольники AA 1 D 1 D и BB 1 C 1 C.

Противолежащие грани прямоугольного параллелепипеда равны.

На рисунке 155 грань ABCD называют основанием прямоугольного параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 .

Площадью поверхности параллелепипеда называют сумму площадей всех его граней.

Чтобы иметь представление о размерах прямоугольного параллелепипеда, достаточно рассмотреть любые три ребра, имеющие общую вершину. Длины этих ребер называют измерениями прямоугольного параллелепипеда. Чтобы их различать, пользуются названиями: длина , ширина , высота (рис. 156 ).

Прямоугольный параллелепипед, у которого все измерения равны, называют кубом (рис. 157 ). Поверхность куба состоит из шести равных квадратов.

Если коробку, имеющую форму прямоугольного параллелепипеда, открыть (рис. 158 ) и разрезать по четырем вертикальным ребрам (рис. 159 ), а затем развернуть, то получим фигуру, состоящую из шести прямоугольников (рис. 160 ). Эту фигуру называют разверткой прямоугольного параллелепипеда .

На рисунке 161 изображена фигура, состоящая из шести равных квадратов. Она является разверткой куба.

С помощью развертки можно изготовить модель прямоугольного параллелепипеда.

Это можно сделать, например, так. Начертить на бумаге его развертку. Вырезать ее, согнуть по отрезкам, соответствующим ребрам прямоугольного параллелепипеда (см. рис. 159 ), и склеить.

Прямоугольный параллелепипед является видом многогранника − фигуры, поверхность которой состоит из многоугольников. На рисунке 162 изображены многогранники.

Одним из видов многогранника является пирамида .

Эта фигура для вас не нова. Изучая курс Древнего мира, вы познакомились с одним из семи чудес света − египетскими пирамидами.

На рисунке 163 изображены пирамиды MABC, MABCD, MABCDE. Поверхность пирамиды состоит из боковых граней − треугольников, имеющих общую вершину, и основания (рис. 164 ). Общую вершину боковых граней называют ребрами основания пирамиды , а стороны боковых граней, не принадлежащие основанию, − боковыми ребрами пирамиды .

Пирамиды можно классифицировать по количеству сторон основания: треугольная, четырехугольная, пятиугольная (см. рис. 163 ) и т.д.

Поверхность треугольной пирамиды состоит из четырех треугольников. Любой из этих треугольников может служить основанием пирамиды. Это основание вид пирамиды, любая грань которой может служить ее основанием.

На рисунке 165 изображена фигура, которая может служить разверткой четырехугольной пирамиды . Она состоит из квадрата и четырех равных равнобедренных треугольников.

На рисунке 166 изображена фигура, состоящая из четырех равных равносторонних треугольников. С помощью этой фигуры можно сделать модель треугольной пирамиды, у которой все грани − равносторонние треугольники.

Многогранники являются примерами геометрических тел .

На рисунке 167 изображены знакомые вам геометрические тела, не являющиеся многогранниками. Более подробно с этими телами вы познакомитесь в 6 классе.

Раздел 1 НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ С НИМИ. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ И ВЕЛИЧИНЫ

§ 25. Прямоугольный параллелепипед. Куб. Пирамида

Спичечный коробок, кирпич, деревянный брусок, ящик, пенал дают представление о геометрическую фигуру, которая называется прямоугольным собой параллелепипед (рис. 188).

Рис. 188

Поверхность прямоугольного параллелепипеда состоит из шести прямоугольников, которые называются его гранями. Противоположные грани прямоугольного параллелепипеда попарно равны.

На рисунке 188 противоположными гранями являются ABCD и MLKN , AMLB и DNKC , AMND и BLKC . Грани ABCD

и MLKN называют еще основами параллелепипеда.

Стороны граней называют ребрами параллелепипеда, а вершины граней - вершинами параллелепипеда. Прямоугольный параллелепипед имеет 8 вершин. Всех есть 12 ребер, по 4 равных между собой. На рисунке 188: АВ = ML = NK = DC , AM = BL = CK = DN и AD = ВС = LK = MN . Ребра AM , BL , CK и DN называют еще высотами параллелепипеда.

Из каждой вершины прямоугольного параллелепипеда выходят три ребра. Длины этих ребер - длина, ширина и высота прямоугольного параллелепипеда (рис. 188), или его измерения.

Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда - это сумма площадей всех его граней.

Задача 1. Найди площадь поверхности S прямоугольного параллелепипеда, если его измерения равны a , b и с.

Решения. Пусть AB = a , MN = b , AM = c (рис. 188). У двух граней длины сторон равны а и b . Площадь каждой из них равна ab . Площадь каждой из двух следующих граней - bc , а двух оставшихся равна ас. Поэтому площадь поверхности S можно найти так: S = 2 ab + 2Ьс + 2ас, или

S = 2(ab + be + ас) .

Прямоугольный параллелепипед, все ребра которого равны, называется кубом (рис. 189). Все грани куба - равные квадраты. Очевидно, что площадь поверхности куба с ребром а равна:

S = 6a 2.

Еще одной важной и интересной фигурой является пирамида (рис. 190-192). Поверхность пирамиды состоит из основы и боковых граней. Боковые грани пирамиды - треугольники, имеющие общую вершину, которую называют вершиной пирамиды, а основание пирамиды - произвольный многоугольник, противоположный к этой вершине.

Начальный уровень

836. Найди площадь одной грани и площадь поверхности куба, ребро которого равно 7 см.

Средний уровень

837. Найди общую длину всех ребер куба, если длина одного ребра:

1) 2 см; 2) 5 дм; 3) 13 мм.

838. Площадь одной грани куба 25 см2. Обчисли площадь его поверхности.

839. На рисунке 194 изображено одну из граней куба. Измерь ребро куба и найди:

1) сумму длин всех ребер куба;

2) площадь поверхности куба.

840. На рисунке 195 изображен прямоугольный параллелепипед ABCDEFGH . Названия:

1) все грани этого параллелепипеда;

2) все ребра этого параллелепипеда;

3) все вершины этого параллелепипеда;

4) ребра, которые являются сторонами грани AEFB ;

5) ребра, равные ребру НЕ;

6) грань, равную грани EFGH ;

7) грани, которым принадлежит вершина Н;

8) грани, для которых АВ является общим ребром.

Рис. 194

Рис. 195

841. Сколько всего у шестиугольной пирамиды (рис. 190):

1) граней; 2) ребер?

842. Сколько всего у четырехугольной пирамиды (рис. 191):

1) граней; 2) ребер?

843. Найди площади граней ABCD , FBAE , CGFB параллелепипеда, изображенного на рисунке 195.

844. Обчисли сумму длин всех ребер и площадь поверхности параллелепипеда, изображенного на рисунке 195.

845. Обчисли площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда, измерения которого равны:

1) 5 см, 3 см и 2 см; 2) 3 дм, 4 дм и 7 дм.

846. Обчисли сумму длин всех ребер прямоугольного параллелепипеда, длина которого 8 см, ширина 5 см, высота 3 см.

Достаточный уровень

847. Прямоугольный параллелепипед, склеенный из бумаги, разрезали вдоль его ребер. Грани его изображено на рисунке 196.

1) Обчисли площадь каждой грани.

2) Сколько квадратных сантиметров бумаги нужно для изготовления этого прямоугольного параллелепипеда (без учета запасов для склеивания)?

848. Обчисли площадь поверхности спичечной коробки или пенала, который имеет форму прямоугольного параллелепипеда.

849. Найди площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда, измерения которого равны:

1) 1 м, 2 дм, 40 см; 2) 80 мм, 5 см, 1 дм.

850. Измерения прямоугольного параллелепипеда 2 см, 4 см и 7 см. Найди площадь:

1) наименьшей грани; 2) наибольшей грани.

851. Сумма длин всех ребер куба 60 дм. Какова длина одного ребра?

852. Могут ли некоторые 4 грани прямоугольного параллелепипеда иметь площади 2 м2, 3 м2, 6 м2 и 7 м2?

853. Площади трех граней прямоугольного параллелепипеда 120 см2, 70 м2 и 84 см2. Обчисли площадь его поверхности.

854. Пирамида 2017 граней. Сколько сторон имеет многоугольник, который является основанием пирамиды?

855. Основанием пирамиды является двадцятисемикутник. Сколько граней имеет эта пирамида?

856. Сумма длин всех ребер прямоугольного параллелепипеда равна 36 дм. Найди сумму длин трех его ребер, выходящих из одной вершины.

857. Высота прямоугольного параллелепипеда равна 15 см, что на 5 см больше ширины и в 2 раза меньше длины. Найди сумму длин всех ребер параллелепипеда и площадь его поверхности.

858. Найди формулу для вычисления суммы длин ребер L прямоугольного параллелепипеда с измерениями a , b и с.

859. Из жести изготовлен бак без крышки. Он имеет форму прямоугольного параллелепипеда, длина которого 80 см, ширина 50 см, а высота 40 см. Бак надо покрасить снаружи и внутри. Какую площадь надо покрасить?

860. Аквариум имеет форму прямоугольного параллелепипеда. Его боковые стенки стеклянные. Определи площадь поверхности стекла, если длина аквариума 50 см, ширина 20 см, а высота 40 см.

Высокий уровень

861. Существует ли пирамида, у которой:

1) 2000 ребер; 2) 2005 ребер?

862. Существует ли пирамида, у которой:

1) 107 ребер; 2) 250 ребер?

Если ответ положительный, укажи многоугольник, который является основанием пирамиды.

863. Прямоугольный параллелепипед и куб имеют равные площади поверхности. Длина параллелепипеда 12 см, что в 3 раза больше за высоту и на 3 см больше ширины. Найди ребро куба.

864. Ребро одного куба вдвое больше, чем ребро другого. Во сколько раз площадь поверхности первого куба больше площади поверхности второго?

865. Брусок, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда, надо покрасить. Замеры бруска 80 см, 70 см и 50 см. Сколько нужно краски, если на 1 дм2 поверхности расходуют 3 г краски?

866. Сумма всех ребер прямоугольного параллелепипеда равна 288 см, причем высота вдвое меньше ширины и в три раза меньше длины. Найди площадь поверхности этого параллелепипеда.

Упражнения для повторения

867. Никита Кожемяка вичинив 106 шкур. Первые четыре часа он вичиняв по 16 шкур за час, а потом начал выделывать по 14 шкур за час. Сколько времени Кожемяка потратил на выделку всех шкур?

868. Составь и реши задачи по схемам (стрелка направлена в сторону большего числа):

869. Расстояние между Черниговом и Луганском составляет 870 км. В 12 часов из Чернигова в Луганск выехал автобус со скоростью 85 км/час. В 14 часов из Луганска в Чернигов выехал автомобиль со скоростью 90 км/час. В котором часу они встретятся?

870. В двух бидонах вместе 48 л молока, причем в одном из них вдвое меньше, чем в другом. Сколько литров молока в каждом бидоне?

871. Периметр треугольника равен 40 см, одна сторона - а см, а другая - 15 см. Составь выражение для вычисления третьей стороны треугольника. Обчисли его длину, если а = 8. Может a равно 5? равен 21?

Призма называется параллелепипедом , если её основания - параллелограммы. См.Рис.1 .

Свойства параллелепипеда:

Противоположные грани параллелепипеда параллельны (т.е. лежат в параллельных плоскостях) и равны.

Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

Смежные грани параллелепипеда – две грани, имеющие общее ребро.

Противоположные грани параллелепипеда – грани, не имеющих общих рёбер.

Противоположные вершины параллелепипеда – две вершины, не принадлежащие одной грани.

Диагональ параллелепипеда – отрезок, который соединяет противоположные вершины.

Если боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований, то параллелепипед называется прямым .

Прямой параллелепипед, основания которого – прямоугольники, называется прямоугольным . Призма, все грани которой - квадраты, называется кубом .

Параллелепипед – призма, у которой основаниями служат параллелограммы.

Прямой параллелепипед – параллелепипед, у которого боковые ребра перпендикулярны плоскости основания.

Прямоугольный параллелепипед – это прямой параллелепипед, основаниями которого являются прямоугольники.

Куб – прямоугольный параллелепипед с равными ребрами.

Параллелепипедом называется призма, основание которой – параллелограмм; таким образом, параллелепипед имеет шесть граней и все они - параллелограммы.

Противоположные грани попарно равны и параллельны. Параллелепипед имеет четыре диагонали; все они пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам. За основание может быть принята любая грань; объем равен произведению площади основания на высоту: V = Sh.

Параллелепипед, четыре боковые грани которого - прямоугольники, называется прямым.

Прямой параллелепипед, у которого все шесть граней - прямоугольники, называется прямоугольным. См.Рис.2 .

Объем (V) прямого параллелепипеда равен произведению площади основания (S) на высоту (h): V = Sh .

Для прямоугольного параллелепипеда, кроме того, имеет место формула V=abc , где a,b,c - ребра.

Диагональ (d) прямоугольного параллелепипеда связана с его ребрами соотношением d 2 = а 2 + b 2 + c 2 .

Прямоугольный параллелепипед – параллелепипед, у которого боковые рёбра перпендикулярны основаниям, а основания прямоугольниками.

Свойства прямоугольного параллелепипеда:

В прямоугольном параллелепипеде все шесть граней – прямоугольники.

Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда прямые.

Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений (длин трёх рёбер, имеющих общую вершину).

Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны.

Прямоугольный параллелепипед, все грани которого - квадраты, называется кубом. Все ребра куба равны; объем (V) куба выражается формулой V=a 3 , где a - ребро куба.