Kvant. Ионные кристаллы

Ионные и лазерные установки Вопрос. Как должны компоноваться и размещаться ионные и лазерные установки?Ответ. Должны компоноваться, а входящие в их состав блоки размещаться с учетом мер, обеспечивающих помехоустойчивость управляющих и измерительных цепей этих

Литий-ионные (Li-Ion) аккумуляторы

Литий-ионные (Li-Ion) аккумуляторы Литий является самым легким металлом, в то же время он обладает и сильно отрицательным электрохимическим потенциалом. Благодаря этому литий характеризуется наибольшей теоретической удельной электрической энергией. Вторичные источники

Стасенко А., Брук Ю. Ионные кристаллы, модуль Юнга и массы планет //Квант. - 2004. - № 6. - С. 9-13.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала "Квант"

Жил да был Маленький принц. Он жил на планете, которая была чуть побольше его самого...
Маленький принц подробно мне все описал, и я нарисовал эту планету.
Антуан де Сент-Экзюпери. Маленький принц

Из каких атомов построены планеты?

Задумывались ли вы когда-нибудь о том, чем отличаются друг от друга разные планеты? Конечно, массами и размерами, - скажете вы. Это правильно, массы и радиусы планет во многом определяют и другие их характеристики. Ну, а из атомов каких химических элементов построены планеты? Астрофизики утверждают, что из разных. Но в Солнечной системе, да и вообще во Вселенной, атомы разных элементов присутствуют далеко не в равных количествах. Известно, например, что относительное содержание (по массе) водорода, гелия и всех прочих элементов определяется отношениями 0,73:0,25:0,02.

Планеты нашей Солнечной системы построены тоже по-разному. Самые большие из них - Юпитер и Сатурн (их массы, соответственно, в 318 и 95 раз больше массы Земли M з) - в основном состоят из водорода и гелия. Правда, и водород, и гелий в этих планетах находятся не в газообразном, а в твердом или жидком состоянии, а средние плотности этих планет намного превосходят плотность планетных атмосфер или, например, газов, с которыми мы обычно экспериментируем, изучая в физическом практикуме газовые законы. Планеты Уран и Нептун имеют массы, соответственно, в 15 и 17 раз большие, чем у Земли, а состоят они главным образом из льда, твердого метана (СН 4 ) и аммиака (NH 3 ) в металлической фазе. Заметьте, что при уменьшении массы планет (если «перемещаться» по шкале масс от планет-гигантов) возрастают средние массовые числа атомов, из которых эти планеты построены. Случайно ли это? Похоже, что нет - это же утверждение оказывается справедливым и при дальнейшем «движении» вдоль шкалы масс. Планеты земной группы (Меркурий, Венера, Марс) не превосходят по массе Землю, а характерным элементом для них (и для Земли) является железо. Кроме того, они содержат много силикатов (например, двуокись кремния SiO 2 ). Тенденция совершенно отчетливая - чем больше масса планеты, тем меньше средние массовые числа атомов, из которых она состоит. Возникает довольно естественный вопрос - нельзя ли сказать, что между массами планет и массами атомов, из которых они построены, существует какая-то связь?

Конечно, было бы неправильно утверждать, что массы атомных ядер зависят от массы планеты. Атомы каждого химического элемента устроены совершенно одинаково не только на разных планетах, но и вообще в любых местах во Вселенной. Но связь между массами тех атомов, из которых планеты «построены» на самом деле, и массами самих планет действительно существует . И именно об этом пойдет речь дальше.

Мы будем обсуждать очень простую модель. Но «очень часто упрощенная модель проливает больше света на то, как в действительности устроена природа явления, чем любое число вычислений ab initio для различных конкретных случаев, которые, если даже они правильны, часто содержат так много деталей, что скорее скрывают, чем проясняют истину». Эти слова принадлежат лауреату Нобелевской премии по физике, одному из крупнейших физиков-теоретиков нашего времени Ф.Андерсону.

Удивительно, что планеты нашей Солнечной системы, как оказывается, вовсе не так уж далеки от обсуждаемой ниже модели. И все же мы должны уже здесь предостеречь читателей от слишком формального применения тех простейших формул, которые мы выпишем дальше, к реальным планетам. Все оценки, которые мы сделаем, справедливы лишь по порядку величины. Мы будем пользоваться для оценок качественными соображениями и методом размерностей и не будем заботиться о тех численных коэффициентах, которые возникают при более аккуратных вычислениях. Такой подход оправдан, если численные коэффициенты в формулах оказываются порядка единицы. Но именно такая ситуация возникает в физике и астрофизике довольно часто (хотя, конечно, и не всегда). Есть для этого и более серьезные основания, но мы здесь не будем их обсуждать, а просто примем без доказательства, что безразмерные коэффициенты не испортят (по крайней мере качественно) наши выводы .

На пути к нашей основной цели - установлению связи между массами планет и их химическим составом - мы совершим небольшую экскурсию в физику твердого тела и вычислим энергию ионного кристалла и его модуль Юнга. В конечном счете эти вычисления помогут нам разобраться и с планетами.

Ионные кристаллы и модуль Юнга

Рассмотрим сначала модель ионного кристалла, похожего на кристалл поваренной соли NaCl , но отличающегося от последнего тем, что атомы имеют примерно одинаковые массы. Это отличие от кристалла NaCl не очень существенно для дальнейших рассуждений, но несколько облегчит нам вычисления. Массой электронов по сравнению с массой атомных ядер мы можем пренебречь.

Пусть плотность кристалла ρ , а массовые числа атомов, его составляющих, A 1 ≈ A 2 ≈ А . Массы нуклонов - протонов и нейтронов, из которых состоят ядра, отличаются очень незначительно, мы здесь не будем учитывать различия между ними. При этих допущениях можно считать, что масса каждого атома примерно равна массе атомного ядра

\(~m \approx Am_p,\)

где m p - масса нуклона. Если в единице объема содержится всего n атомов, то их суммарная масса равна плотности:

\(~nm = \rho.\)

Эту простую формулу нам удобно переписать еще и по-другому. Для оценок, которые мы собираемся сделать, мы можем считать наш модельный кристалл кубическим. Это значит, что атомы «сидят» в углах элементарного кубика - ячейки кристаллической решетки. Обозначим длину ребра этого кубика буквой а . По самому своему смыслу, величина n непосредственно связана с а \[~na^3 = 1\], поэтому

\(~\rho = \frac{m}{a^3}.\)

Эта формула любопытна тем, что в правую часть ее входят m и a - величины «микроскопические», слева же стоит вполне «макроскопическая» величина - плотность кристалла.

Кристаллическая решетка построена у нас из чередующихся положительных и отрицательных ионов. Заряд каждого иона будем считать для простоты равным заряду электрона с соответствующим знаком, т.е. ±е . Силами, действующими на каждый ион, являются обычные кулоновские силы. Если бы у нас было только два иона и они находились бы на расстоянии a друг от друга, то потенциальная энергия их взаимодействия была бы величиной \(~\sim \frac{e^2}{\varepsilon_0 a}\), где ε 0 - электрическая постоянная, а значок « ~ » означает, что мы написали оценку по порядку величины. Энергия взаимодействия нары ионов - очень важная и полезная для оценок характеристика. Но частиц в кристалле, конечно, намного больше двух. Если принять, что среднее расстояние между частицами равно 2·10 -10 м, то легко вычислить, что в 1 см 3 будет порядка 10 23 частиц.

Часто говорят о плотности электростатической энергии системы ионов, образующих кристалл. Слово «плотность» употребляется здесь потому, что имеется в виду энергия, относящаяся к единице объема. Другими словами, эта величина есть сумма потенциальных энергий взаимодействия всех пар ионов в единичном объеме. Но точно вычислить такую сумму трудно, мы этого сделать здесь не сможем, потому что для этого нужно было бы учитывать взаимодействие большого числа частиц, находящихся на разных расстояниях друг от друга. Можно, однако, действовать по аналогии с формулой для плотности кристалла.

Заметим сначала, что интересующая нас плотность энергии w имеет размерность Дж/м 3 , а размерность потенциальной энергии пары ионов есть \(~\left[ \frac{e^2}{\varepsilon_0 a} \right]\) = Дж. Символ [...]- обозначает размерность величины, стоящей в скобках. Разделим теперь «микроскопическую» величину \(~\frac{e^2}{\varepsilon_0 a}\) на другую, тоже «микроскопическую», - а 3 , при этом получится величина, имеющая размерность плотности энергии. Можно думать, что это как раз и есть оценка для w .

Эти рассуждения, конечно, не являются строгим доказательством того, что плотность электростатической энергии системы ионов, образующих кристалл, равна \(~\frac{e^2}{\varepsilon_0 a^4}\). Однако точный расчет для ионного кристалла приводит к формуле

\(~w = \alpha n \frac{e^2}{\varepsilon_0 a} = \alpha \frac{e^2}{\varepsilon_0 a^4},\)

которая отличается от получающейся у нас оценки только числовым множителем α ~ 1.

Упругие свойства вещества определяются, конечно, межатомными взаимодействиями. Важнейшей характеристикой таких свойств является, как мы знаем, модуль Юнга Е . Мы привыкли определять его из закона Гука как такое напряжение, при котором относительная линейная деформация тела \(~\frac{\Delta l}{l}\) равна единице, или, другими словами, соответствующая длина меняется вдвое. Но величина Е вовсе не зависит от того, знаем ли мы закон Гука и выполняется ли он на самом деле. Обратим внимание на размерность модуля упругости: Н/м 2 = Дж/м 3 . Можно поэтому интерпретировать E и как некоторую характерную плотность энергии.

Чтобы это стало более понятным, приведем два других примера. Первый относится к обычному плоскому конденсатору. Если поместить на его пластины заряды ±q , то внутри конденсатора будет существовать электростатическое поле, а сами пластины будут притягиваться друг к другу. Пусть площадь каждой пластины S , а расстояние между ними d . Можно вычислить силу притяжения пластин и, разделив ее на S , найти «характерное давление». А можно вычислить энергию, заключенную в конденсаторе, и, поделив ее на объем Sd , найти плотность энергии. В обоих случаях получится величина \(~\frac{\sigma^2}{2 \varepsilon_0}\), где \(~\sigma = \frac qS\) - поверхностная плотность зарядов на пластинах. «Характерное давление» и плотность энергии оказываются в этом случае совпадающими не только по размерностям, но и численно.

Второй пример - это определение коэффициента поверхностного натяжения жидкости. Этот коэффициент можно определять как силу, отнесенную к единице длины (например, для растягиваемой мыльной пленки), а можно считать его плотностью поверхностной энергии. И в этом случае на «силовом» и «энергетическом» языках определяется одна и та же величина.

Вернемся, однако, к ионному кристаллу. Характерная для ионного кристалла энергия есть энергия электростатическая, упругие свойства кристалла определяются электрическими взаимодействиями составляющих его частиц. Поэтому можно считать, что w ~ E . Здесь мы снова принимаем без доказательства, что коэффициент пропорциональности для этих величин порядка единицы. Таким образом, мы научились оценивать величину модуля Юнга для ионного кристалла:

\(~E \sim w \sim \frac{e^2}{\varepsilon_0 a^4} \approx \frac{\rho}{m} \frac{e^2}{\varepsilon_0 \left(\frac{m}{\rho} \right)^{\frac 13}} = e^2 m^{-\frac 43} \rho^{\frac 43} \varepsilon_0^{-1}.\)

Из этой формулы сразу же следует, что w - величина, ограниченная сверху. Пока существует ионная решетка, расстояние между ионами во всяком случае не может быть меньше размеров атомов (ионов). Если бы это было не так, электронные оболочки соседних ионов перекрылись бы, электроны обобществились, а вместо ионного кристалла у нас получился бы уже металл.

С другой стороны, для ионного кристалла величина w ограничена и снизу. Понять это можно на таком примере. Представим себе, что к кристаллическому стержню приложена деформирующая его сила. При достаточно большой величине этой силы стержень разрушится. Напряжение, возникающее при разрушении, равно «разрушающей» силе, деленной на площадь сечения стержня, перпендикулярного этой силе. Это напряжение, обозначим его p pr , называется пределом прочности, и оно всегда меньше модуля Юнга. Последнее утверждение во всяком случае правдоподобно. Как мы уже говорили, напряжение, равное модулю Юнга, формально приводит к изменению длины изучаемого образца вдвое. (Надо бы, правда, сказать еще, что законом Гука пользоваться при достаточно больших деформациях, вообще говоря, нельзя, но интересующие нас качественные выводы все равно сохраняются и без закона Гука.) Из опыта же мы знаем, что растянуть или сжать какой-либо кристалл вдвое практически нельзя - он сломается задолго до этого. Пусть теперь р - характерное давление, обусловленное внешним воздействием на кристалл. Можно сказать, что одним из условий существования кристаллической структуры является выполнение неравенств

\(~w > p_{pr} > p.\)

Другое очевидное условие заключается в требовании, чтобы температура кристалла была меньше температуры плавления кристаллической решетки.

Здесь возникает еще такой вопрос. Если модуль Юнга определять как напряжение, меняющее вдвое длину стержня, то как быть с кристаллом, имеющим форму шара или куба и деформируемом одновременно со всех сторон? В этом случае разумнее говорить об относительном изменении уже не какой-то длины, а объема кристалла \(~\frac{\Delta V}{V}\), а закон Гука при малых деформациях записывать в виде

\(~\frac pK = \frac{\Delta V}{V}.\)

Эта формула очень похожа на ту, которую мы пишем для случая растяжения (или сжатия) стержня\[~\frac pE = \frac{\Delta l}{l}\], но модуль Юнга Е заменяется теперь на модуль всестороннего сжатия К . Модуль К тоже можно интерпретировать как характерную плотность энергии.

Ионно-кристаллическая планета

Перейдем теперь к нашей основной задаче. Рассмотрим гипотетическую планету, построенную из почти одинаковых атомов, образующих кристаллическую решетку. Чтобы планета была целиком кристаллической, в любом случае нужно, чтобы давление в центре планеты (оно там, конечно, максимально!) не превосходило величину w .

Давление в центре планеты с массой М и радиусом R можно оценить по формуле

\(~p \sim G \frac{M^2}{R^4},\)

где G - гравитационная постоянная. Эту формулу можно получить из соображений размерности. Напомним, как это делается.

Предположим, что давление в центре планеты может зависеть от массы планеты М , ее радиуса R и гравитационной постоянной G , и запишем формулу

\(~p \sim G^xM^yR^z.\)

Числа х , у , z пока не известны. Выпишем размерности входящих в эту формулу параметров: [р ] = кг·м -1 ·с -2 , [G ] = м 3 ·кг -1 ·с -2 , [М ] = кг, [R ] = м. Сравнивая размерности левой и правой частей формулы, получим

Кг·м -1 ·с -2 = м 3x ·кг -x ·с -2x ·кг y ·m z .

Для того чтобы равенство было справедливым, нужно, чтобы числа х , у , z удовлетворяли следующей системе уравнений:

\(~\left\{\begin{matrix} 1 = -x + y, \\ -1 = 3x + z, \\ -2 = -2x. \end{matrix} \right.\)

Отсюда х = 1, у = 2, z = -4, и мы получаем нашу формулу для давления.

С другой стороны, эту формулу можно понять и так. Гравитационная энергия шара с массой М и радиусом R должна быть порядка \(~\frac{GM^2}{R}\), плотность же гравитационной энергии мы получим, если разделим энергию на объем шара V ~ R 3 . Подобно тому как упругие модули можно интерпретировать как плотность электростатической энергии, плотность гравитационной энергии можно считать величиной того же порядка, что и давление в центре гравитирующего шара.

Еще раз подчеркнем, что речь идет не о тождественности давления и плотности энергии (это было бы просто неправильное утверждение!), а о равенстве их по порядку величины.

Условие существования ионного кристалла в центре нашей гипотетической планеты таково:

\(~G\frac{M^2}{R^4} < w \sim e^2 m^{-\frac 43} \rho^{\frac 43} \varepsilon_0^{-1}.\)

И, конечно, полностью кристаллическая планета существует только в том случае, если она относительно холодная, другими словами - температура в центре планеты не должна быть очень близкой к температуре плавления. В противном случае у планеты появилось бы жидкое ядро - кристалл расплавился бы. Учтем снова, что \(~\rho \sim \frac{M}{R^3}\) и \(~m \approx Am_p\), тогда наше неравенство можно переписать так:

\(~A < \left(\frac{e^2}{\varepsilon_0 G m_p M} \right)^{\frac 43} \left(\frac{M}{m_p} \right)^{\frac 14}.\)

Отсюда уже явно видно, что предположения о том, что планета целиком кристаллическая, а плотность ее в центре порядка средней плотности, приводят нас к ограничениям на массы атомов, из которых такие планеты можно построить.

Предположение о том, что средняя плотность планеты совпадает по порядку величины с плотностью в центре ее, совершенно естественно и вполне разумно в тех случаях, когда вещество в центре планеты сжато «не слишком сильно». Но если бы сжатие было очень велико, ионный кристалл все равно бы уже не существовал. Если ионно-кристаллическая планета имеет радиус и массу такие же, как у Земли, то плотности вещества в центре и вблизи поверхности отличаются не так уж сильно - всего раза в три. Поэтому по порядку величины средняя плотность действительно такая же, как и плотность вблизи центра планеты. Это же справедливо для не очень точных оценок и для других планет, и для звезд.

Ограничения на максимальные массы атомов, из которых могут быть построены целиком кристаллические планеты, определяются, таким образом, параметрами самих планет. Для простейшей модели сплошной ионно-кристаллической планеты мы получили

\(~A_{max} = \operatorname{const} \cdot M^{-\frac 12}.\)

Нарисуем теперь график функции М (A max) (см. рисунок). Этот график, строго говоря, относится только к нашей гипотетической ситуации, когда планеты построены из ионных кристаллов и не имеют сколько-нибудь значительных жидких сердцевин. Вспомним начало статьи, где речь шла о том, какие элементы или соединения являются характерными для реальных планет. Предположим, что планеты «Солнечной системы» (кавычки отличают гипотетические планеты от реальных с приблизительно теми же массами!) - ионно-кристаллические. Если принять, что значение среднего массового числа для «планет земной группы» около 60, для «Урана» и «Нептуна» около 16, а для «Юпитера» и «Сатурна» 2-4, то соответствующие «точки» совсем неплохо «ложатся» на наш график. По горизонтальной оси на нем мы отложили среднее для «планет» значение Л, а по вертикальной - массы ионно-кристаллических планет в единицах массы Земли.

а) Зависимость относительной массы гипотетической планеты от массового числа атомов; б) тоже, но в логарифмическом масштабе

Но это, конечно, вовсе не значит, что реальные планеты не имеют жидких ядер, - такие ядра, вероятно, существуют. Однако существуют в планетах и кристаллические структуры. И то, что реальные планеты, по крайней мере качественно, похожи на планеты модельные, позволяет утверждать, что мы и в самом деле «поймали» и поняли закономерность существования связи между массами планет и массами атомов основной части составляющего планеты вещества.

Добавим в заключение, что рассуждения, подобные приведенным в этой статье, можно провести и для тех случаев, когда планеты не ионно-кристаллические, а металлические. Металличность означает, что в кристалле (или в жидкости) существуют ионы и «свободные» электроны, оторванные при большом давлении от «своих» атомов. В этом случае говорят, что гравитационному сжатию «противодействует» давление электронного газа, баланс соответствующих сил (давлений) обеспечивает возможность существования устойчивых планет. Принцип расчета, ведущего к установлению связи между массами планет и характеристиками составляющих их атомов, остается прежним, сами же вычисления усложняются, и мы не будем их здесь приводить . Для тех, кто пожелает такие вычисления проделать самостоятельно, сообщим, что давление электронного газа в металлах по порядку величины равно \(~\frac{\hbar^2}{m_e} n_e^{\frac 53}\), где \(~\hbar\) ≈ 10 -34 Дж·с - постоянная Планка, m e = 10 -30 кг - масса электрона, а n e - число электронов в единице объема.

В сложных кристаллах, состоящих из элементов различной валентности, возможно образование ионного типа связи. Такие кристаллы называют ионными.

При сближении атомов и перекрытии валентных энергетических зон между элементами происходит перераспределение электронов. Электроположительный элемент теряет валентные электроны, превращаясь в положительный ион, а электроотрицательный - приобретает его, достраивая тем самым свою валентную зону до устойчивой конфигурации, как у инертных газов. Таким образом, в узлах ионного кристалла располагаются ионы.

Представитель этой группы - кристалл оксида решетка которого состоит из отрицательно заряженных ионов кислорода и положительно заряженных ионов железа.

Перераспределение валентных электронов при ионной связи происходит между атомами одной молекулы (одним атомом железа и одним атомом кислорода).

Для ковалентных кристаллов координационное число К, а слелователыю, и возможный тип решетки определяются валентностью элемента. Для ионных кристаллов координационное число определяется соотношением радиусов металлического и неметаллического ионов, так как каждый ион стремится притянуть к себе как можно больше ионов противоположного знака. Ионы в решетке укладываются как шары разных диаметров.

Радиус неметаллического иона больше радиуса металлического, и поэтому металлические ионы заполняют поры в кристаллической решетке, образованной ионами неметалла. В ионных кристаллах координационное число

определяет число ионов противоположного знака, которые окружают данный ион.

Приведенные ниже значения отношений радиуса металла к радиусу неметалла и соответствующие им координационные числа вытекают из геометрии упаковки шаров разных диаметров.

Для координационное число будет равно 6, так как указанное соотношение равно 0,54. На рис. 1.14 приведена кристаллическая решетка Ионы кислорода образуют ГЦК решетку, ионы железа занимают в ней поры. Каждый ион железа окружен шестью ионами кислорода, и, наоборот, каждый ион кислорода окружен шестью ионами железа, В связи с этим в ионных кристаллах нельзя выделить пару ионов, которые можно было бы считать молекулой. При испарении такой кристалл распадается на молекулы.

При нагреве соотношение ионных радиусов может изменяться, так как ионный радиус неметалла растет интенсивнее, чем радиус металлического иона. Это приводит к изменению типа кристаллической структуры, т. е. к полиморфизму. Например, у оксида при нагреве шпинельная кристаллическая решетка изменяется на ромбоэдрическую решетку (см. п. 14.2),

Рис. 1.14. Кристаллическая решетка а - схема; б - пространственное изображение

Энергия связи ионного кристалла по своей величине близка к энергии связи ковалентных кристаллов и превышает энергию связи металлических и тем более молекулярных кристаллов. В связи с этим ионные кристаллы имеют высокую температуру плавления и испарения, высокий модуль упругости и низкие коэффициенты сжимаемости и линейного расширения.

Заполнение энергетических зон вследствие перераспределения электронов делает ионные кристаллы полупроводниками или диэлектриками.

Что такое ионная поляризация

Ионная поляризация заключается в смещении ионов во внешнем электрическом поле и деформацией электронных оболочек при этом. Рассмотрим кристалл типа $M^+X^-$. Кристаллическую решётку такого кристалла можно рассмотреть как две кубические решетки, одна из которых построены из ионов $M^+$, другая из - $X^-$ и они вставлены одна в другую. Направим внешнее однородное электрическое поле ($\overrightarrow{E}$) вдоль оси Z. Ионные решетки сместятся в противоположные стороны на отрезки $\pm z$. Если мы примем, что $m_{\pm }{\omega }^2_0$ -- квазиупругой силы, которая возвращает ион с массой $m_{\pm }$ в положение равновесия, то на $N$ ионов решетки будет действовать сила ($F_{upr}$), которая равна:

При этом электрическая сила ($F_e$), которая действует на ионы той же решетки, равна:

Условия равновесия

В таком случае условия равновесия примут вид:

Для положительных ионов:

Для отрицательных ионов:

В таком случае полно относительное смещение ионов равно:

Ионная поляризация равна:

где $V_0$ -- объем одной молекулы.

Если взять, например, структуру $NaCl$, в которой каждый ион окружен шестью ионами противоположного знака, которые расположены от него на расстоянии a, то получим:

и, следовательно, используя (5) и (6), получим, что:

Ионная поляризация устанавливается за очень короткое время приблизительно ${10}^{-13}сек.$ Она не приводит к рассеиванию энергии, не вызывает диэлектрических потерь. При снятии внешнего поля, электронные оболочки возвращаются в прежнее состояние.

Ионная решеточная поляризации описывается формулой (9). В большинстве случаев такая поляризация является анизотропной.

где $\left\langle \overrightarrow{p}\right\rangle $ -- среднее значение дипольных моментов ионов, которые равны по модулю, но разнонаправлены, $\overrightarrow{p_i}$ -- дипольные моменты отдельных ионов. В изотропных диэлектриках средние дипольные моменты совпадают по направлению с напряженностью внешнего электрического поля.

Напряженность локального поля для кристаллов

Напряженность локального поля ($\overrightarrow{E"}\ или\ иногда\ \overrightarrow{E_{lok}}\ $) для кристаллов кубической сингонии можно выразить формулами:

где $\overrightarrow{E}$- среднее макроскопическое поле в диэлектрике. Или:

Если для кристаллов кубической сингонии применимо уравнение (10) для вычисления локального поля, то к таким кристаллам можно применить формулу Клаузиуса -- Моссотти:

где $\beta $ - поляризуемости молекулы, $n$ -- концентрация молекул.

Связь поляризуемости ($\beta $) молекулы и диэлектрической восприимчивости ($\varkappa$) для кристаллов кубической сингонии можно задать выражением:

Пример 1

Задание: Диэлектрическая проницаемость кристалла равна $\varepsilon =2,8$. Во сколько раз локальная напряженность ($\overrightarrow{E"}$) поля кубической сингонии больше напряженности среднего макроскопического поля в диэлектрике ($E$)?

За основу примем формулу для расчета локальной напряженности поля, а именно:

\[\overrightarrow{E"}=\frac{\varepsilon +2}{3}\overrightarrow{E}\left(1.1\right).\]

Следовательно, для искомого отношения напряженностей можно записать, что:

\[\frac{E"}{E}=\frac{\frac{\varepsilon +2}{3}E}{E}=\frac{\varepsilon +2}{3}\left(1.2\right).\]

Проведем вычисления:

\[\frac{E"}{E}=\frac{2,8+2}{3}=1,6.\]

Ответ: в 1,6 раз.

Пример 2

Задание: Определите поляризуемость атомов углерода в алмазе ($\beta $), если диэлектрическая проницаемость алмаза равна $\varepsilon =5,6$, а его плотность ${\rho }_m=3,5\cdot {10}^3\frac{кг}{м^3.}$

В качестве основы для решения задачи примем уравнение Клаузиуса -- Моссотти:

\[\frac{\varepsilon -1}{\varepsilon +2}=\frac{n\beta }{3}\left(2.1\right).\]

где концентрация частиц $n$ может быть выражена как:

где ${\rho }_m$ плотность массы вещества, $\mu =14\cdot {10}^{-3}\frac{кг}{моль}$ -- молярная масса углерода, $N_A=6,02\cdot {10}^{23}моль^{-1}$ -- постоянная Авогадро.

Тогда выражение (2.1) примет вид:

\[\frac{\varepsilon -1}{\varepsilon +2}=\frac{\beta }{3}\frac{{\rho }_mN_A}{\mu }\ \left(2.3\right).\]

Из выражение (2.3) выразим поляризуемость $\beta $, получим:

\[\ \beta =\frac{3\mu (\varepsilon -1)}{{\rho }_mN_A(\varepsilon +2)}\left(2.4\right).\]

Подставим имеющиеся численные значения, проведем вычисления:

\[\beta =\frac{3\cdot 14\cdot {10}^{-3}(5,6-1)}{3,5\cdot {10}^3\cdot 6,02\cdot {10}^{23}(5,6+2)}=\frac{193,2\cdot {10}^{-3}}{160,132\cdot {10}^{26}}=1,2\cdot {10}^{-29}м^3\]

Ответ: $\beta =1,2\cdot {10}^{-29}м^3$.