Что нормальная случайная величина. Нормальное распределение

(вещественный, строго положительный)

Норма́льное распределе́ние , также называемое распределением Гаусса или Гаусса - Лапласа - распределение вероятностей , которое в одномерном случае задаётся функцией плотности вероятности , совпадающей с функцией Гаусса :

где параметр μ - математическое ожидание (среднее значение), медиана и мода распределения, а параметр σ - среднеквадратическое отклонение ( σ  ² - дисперсия) распределения.

Таким образом, одномерное нормальное распределение является двухпараметрическим семейством распределений. Многомерный случай описан в статье «Многомерное нормальное распределение ».

Стандартным нормальным распределением называется нормальное распределение с математическим ожиданием μ = 0 и стандартным отклонением σ = 1 .

Энциклопедичный YouTube

• 1 / 5

  Важное значение нормального распределения во многих областях науки (например, в математической статистике и статистической физике) вытекает из центральной предельной теоремы теории вероятностей . Если результат наблюдения является суммой многих случайных слабо взаимозависимых величин, каждая из которых вносит малый вклад относительно общей суммы, то при увеличении числа слагаемых распределение центрированного и нормированного результата стремится к нормальному. Этот закон теории вероятностей имеет следствием широкое распространение нормального распределения, что и стало одной из причин его наименования.

  Свойства

  Моменты

  Если случайные величины X 1 {\displaystyle X_{1}} и X 2 {\displaystyle X_{2}} независимы и имеют нормальное распределение с математическими ожиданиями μ 1 {\displaystyle \mu _{1}} и μ 2 {\displaystyle \mu _{2}} и дисперсиями σ 1 2 {\displaystyle \sigma _{1}^{2}} и σ 2 2 {\displaystyle \sigma _{2}^{2}} соответственно, то X 1 + X 2 {\displaystyle X_{1}+X_{2}} также имеет нормальное распределение с математическим ожиданием μ 1 + μ 2 {\displaystyle \mu _{1}+\mu _{2}} и дисперсией σ 1 2 + σ 2 2 . {\displaystyle \sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}.} Отсюда вытекает, что нормальная случайная величина представима как сумма произвольного числа независимых нормальных случайных величин.

  Максимальная энтропия

  Нормальное распределение имеет максимальную дифференциальную энтропию среди всех непрерывных распределений, дисперсия которых не превышает заданную величину .

  Моделирование нормальных псевдослучайных величин

  Простейшие приближённые методы моделирования основываются на центральной предельной теореме . Именно, если сложить несколько независимых одинаково распределённых величин с конечной дисперсией , то сумма будет распределена приблизительно нормально. Например, если сложить 100 независимых стандартно равномерно  распределённых случайных величин, то распределение суммы будет приближённо нормальным .

  Для программного генерирования нормально распределённых псевдослучайных величин предпочтительнее использовать преобразование Бокса - Мюллера . Оно позволяет генерировать одну нормально распределённую величину на базе одной равномерно распределённой.

  Нормальное распределение в природе и приложениях

  Нормальное распределение часто встречается в природе. Например, следующие случайные величины хорошо моделируются нормальным распределением:

  • отклонение при стрельбе.
  • погрешности измерений (однако погрешности некоторых измерительных приборов имеют не нормальные распределения).
  • некоторые характеристики живых организмов в популяции.

  Такое широкое распространение этого распределения связано с тем, что оно является бесконечно делимым непрерывным распределением с конечной дисперсией. Поэтому к нему в пределе приближаются некоторые другие, например, биномиальное и пуассоновское . Этим распределением моделируются многие не детерминированные физические процессы.

  Связь с другими распределениями

  • Нормальное распределение является распределением Пирсона типа XI .
  • Отношение пары независимых стандартных нормально распределенных случайных величин имеет распределение Коши . То есть, если случайная величина X {\displaystyle X} представляет собой отношение X = Y / Z {\displaystyle X=Y/Z} (где Y {\displaystyle Y} и Z {\displaystyle Z} - независимые стандартные нормальные случайные величины), то она будет обладать распределением Коши.
  • Если z 1 , … , z k {\displaystyle z_{1},\ldots ,z_{k}} - совместно независимые стандартные нормальные случайные величины, то есть z i ∼ N (0 , 1) {\displaystyle z_{i}\sim N\left(0,1\right)} , то случайная величина x = z 1 2 + … + z k 2 {\displaystyle x=z_{1}^{2}+\ldots +z_{k}^{2}} имеет распределение хи-квадрат с k степенями свободы.
  • Если случайная величина X {\displaystyle X} подчинена логнормальному распределению , то её натуральный логарифм имеет нормальное распределение. То есть, если X ∼ L o g N (μ , σ 2) {\displaystyle X\sim \mathrm {LogN} \left(\mu ,\sigma ^{2}\right)} , то Y = ln ⁡ (X) ∼ N (μ , σ 2) {\displaystyle Y=\ln \left(X\right)\sim \mathrm {N} \left(\mu ,\sigma ^{2}\right)} . И наоборот, если Y ∼ N (μ , σ 2) {\displaystyle Y\sim \mathrm {N} \left(\mu ,\sigma ^{2}\right)} , то X = exp ⁡ (Y) ∼ L o g N (μ , σ 2) {\displaystyle X=\exp \left(Y\right)\sim \mathrm {LogN} \left(\mu ,\sigma ^{2}\right)} .
  • Отношение квадратов двух стандартных нормальных случайных величин имеет имеет

  Краткая теория

  Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины , плотность которого имеет вид:

  где – математическое ожидание , – среднее квадратическое отклонение .

  Вероятность того, что примет значение, принадлежащее интервалу :

  где – функция Лапласа :

  Вероятность того, что абсолютная величина отклонения меньше положительного числа :

  В частности, при справедливо равенство:

  При решении задач, которые выдвигает практика, приходится сталкиваться с различными распределениями непрерывных случайных величин .

  Кроме нормального распределения, основные законы распределения непрерывных случайных величин:

  Пример решения задачи

  На станке изготавливается деталь. Ее длина - случайная величина, распределенная по нормальному закону с параметрами , . Найти вероятность того, что длина детали будет заключена между 22 и 24,2 см. Какое отклонение длины детали от можно гарантировать с вероятностью 0,92; 0,98? В каких пределах, симметричных относительно , будут лежать практически все размеры деталей?

  Решение:

  Вероятность того, что случайная величина, распределенная по нормальному закону, будет находиться в интервале :

  Получаем:

  Вероятность того, что случайная величина, распределенная по нормальному закону, отклонится от среднего не более чем на величину .

  Случайная величина называется распределенной по нормальному (Гауссовскому) закону с параметрами аи () , если плотность распределения вероятностей имеет вид

  Величина, распределенная по нормальному закону, всегда имеет бесчисленное множество возможных значений, поэтому ее удобно изображать графически, с помощью графика плотности распределения. Согласно формуле

  вероятность того, что случайная величина примет значение из интервала равна площади под графиком функции на этом интервале (геометрический смысл определенного интеграла). Рассматриваемая функция неотрицательна и непрерывна. График функ­ции имеет вид колокола и называется кривой Гаусса или нормальной кривой.

  На рисунке изображено несколько кривых плотности распределения случайной величины, заданной по нормальному закону.

  Все кривые имеют одну точку максимума, при удалении от которой вправо и влево кривые убывают. Максимум достигается при и равен .

  Кривые симметричны относительно вертикальной прямой, проведенной через наивысшую точку. Площадь подграфика каждой кривой равна 1.

  Различие отдельных кривых распределения состоит лишь в том, что суммарная площадь подграфика, одна и та же для всех кривых, различным образом распределена между различными участками. Основная часть площади подграфика любой кривой сосредоточена в непосредственной близости наивероятнейшего значения , а это значение у всех трех кривых разное. При различных значениях и а получаются различные нормальные законы и различные графики плотности функции распределения.

  Теоретические исследования показали, что большинство встречающихся на практике случайных величин имеет нормальный закон распределения. По этому закону распределяется скорость газовых молекул, вес новорожденных, размер одежды и обуви населения страны и много других случайных событий физической и биологической природы. Впервые эту закономерность заметил и теоретически обосновал А. Муавр.

  При , функция совпадает с функцией , о которой уже шла речь в локальной предельной теореме Муавра–Лапласа. Плотность вероятности нормального распределения легко выражаетсячерез :

  При таких значениях параметров нормальный закон называется основным .

  Функция распределения для нормированной плотности называется функцией Лапласа и обозначается Φ(х) . Мы также уже встречались с этой функцией.

  Функция Лапласа не зависит от конкретных параметров а и σ. Для функции Лапласа, с помощью методов приближенного интегрирования составлены таблицы значений на проме­жутке с разной степенью точности. Очевидно, что функция Лапласа является нечетной, следовательно, нет необходимости помещать в таблицу ее значения при отрицательных .

  
  
  

  Для случайной величины, распределенной по нормальному закону с параметрами а и , математическое ожидание и дисперсия вычисляются по формулам: , .Среднее квадратическое отклонение равно .

  Вероятность того, что нормально распределенная величина примет значение из интервала , равна

  где есть функция Лапласа, введенная в интегральной предельной теореме.

  Часто в задачах требуется вычислить вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины X от своего математического ожидания по абсолютной величине не превосходит некоторого значения , т.е. вычислить вероятность . Применяя формулу (19.2), имеем:

  В заключение приведем одно важное следствие из формулы (19.3). Положим в этой формуле . Тогда , т.е. вероятность того, что абсолютная величина отклонения X от своего математического ожидания не превысит , равна 99,73%. Практически такое событие можно считать достоверным. В этом и состоит сущность правила трех сигм.

  Правило трех сигм. Если случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания практически не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения.

  На практике большинство случайных величин, на которых воздействует большое количество случайных факторов, подчиняются нормальному закону распределения вероятностей. Поэтому в различных приложениях теории вероятностей этот закон имеет особое значение.

  Случайная величина $X$ подчиняется нормальному закону распределения вероятностей, если ее плотность распределения вероятностей имеет следующий вид

  $$f\left(x\right)={{1}\over {\sigma \sqrt{2\pi }}}e^{-{{{\left(x-a\right)}^2}\over {2{\sigma }^2}}}$$

  Схематически график функции $f\left(x\right)$ представлен на рисунке и имеет название «Гауссова кривая». Справа от этого графика изображена банкнота в 10 марок ФРГ, которая использовалась еще до появления евро. Если хорошо приглядеться, то на этой банкноте можно заметить гауссову кривую и ее первооткрывателя величайшего математика Карла Фридриха Гаусса.

  Вернемся к нашей функции плотности $f\left(x\right)$ и дадим кое-какие пояснения относительно параметров распределения $a,\ {\sigma }^2$. Параметр $a$ характеризует центр рассеивания значений случайной величины, то есть имеет смысл математического ожидания. При изменении параметра $a$ и неизмененном параметре ${\sigma }^2$ мы можем наблюдать смещение графика функции $f\left(x\right)$ вдоль оси абсцисс, при этом сам график плотности не меняет своей формы.

  

  Параметр ${\sigma }^2$ является дисперсией и характеризует форму кривой графика плотности $f\left(x\right)$. При изменении параметра ${\sigma }^2$ при неизмененном параметре $a$ мы можем наблюдать, как график плотности меняет свою форму, сжимаясь или растягиваясь, при этом не сдвигаясь вдоль оси абсцисс.

  

  Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал

  Как известно, вероятность попадания случайной величины $X$ в интервал $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ можно вычислять $P\left(\alpha < X < \beta \right)=\int^{\beta }_{\alpha }{f\left(x\right)dx}$. Для нормального распределения случайной величины $X$ с параметрами $a,\ \sigma $ справедлива следующая формула:

  $$P\left(\alpha < X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right)$$

  Здесь функция $\Phi \left(x\right)={{1}\over {\sqrt{2\pi }}}\int^x_0{e^{-t^2/2}dt}$ - функция Лапласа. Значения этой функции берутся из . Можно отметить следующие свойства функции $\Phi \left(x\right)$.

  

  1 . $\Phi \left(-x\right)=-\Phi \left(x\right)$, то есть функция $\Phi \left(x\right)$ является нечетной.

  2 . $\Phi \left(x\right)$ - монотонно возрастающая функция.

  3 . ${\mathop{lim}_{x\to +\infty } \Phi \left(x\right)\ }=0,5$, ${\mathop{lim}_{x\to -\infty } \Phi \left(x\right)\ }=-0,5$.

  Для вычисления значений функции $\Phi \left(x\right)$ можно также воспользоваться мастером функция $f_x$ пакета Excel: $\Phi \left(x\right)=НОРМРАСП\left(x;0;1;1\right)-0,5$. Например, вычислим значений функции $\Phi \left(x\right)$ при $x=2$.

  

  Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины $X\in N\left(a;\ {\sigma }^2\right)$ в интервал, симметричный относительно математического ожидания $a$, может быть вычислена по формуле

  $$P\left(\left|X-a\right| < \delta \right)=2\Phi \left({{\delta }\over {\sigma }}\right).$$

  Правило трех сигм . Практически достоверно, что нормально распределенная случайная величина $X$ попадет в интервал $\left(a-3\sigma ;a+3\sigma \right)$.

  Пример 1 . Случайная величина $X$ подчинена нормальному закону распределения вероятностей с параметрами $a=2,\ \sigma =3$. Найти вероятность попадания $X$ в интервал $\left(0,5;1\right)$ и вероятность выполнения неравенства $\left|X-a\right| < 0,2$.

  Используя формулу

  $$P\left(\alpha < X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right),$$

  находим $P\left(0,5;1\right)=\Phi \left({{1-2}\over {3}}\right)-\Phi \left({{0,5-2}\over {3}}\right)=\Phi \left(-0,33\right)-\Phi \left(-0,5\right)=\Phi \left(0,5\right)-\Phi \left(0,33\right)=0,191-0,129=0,062$.

  $$P\left(\left|X-a\right| < 0,2\right)=2\Phi \left({{\delta }\over {\sigma }}\right)=2\Phi \left({{0,2}\over {3}}\right)=2\Phi \left(0,07\right)=2\cdot 0,028=0,056.$$

  Пример 2 . Предположим, что в течение года цена на акции некоторой компании есть случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием, равным 50 условным денежным единицам, и стандартным отклонением, равным 10. Чему равна вероятность того, что в случайно выбранный день обсуждаемого периода цена за акцию будет:

  а) более 70 условных денежных единиц?

  б) ниже 50 за акцию?

  в) между 45 и 58 условными денежными единицами за акцию?

  Пусть случайная величина $X$ - цена на акции некоторой компании. По условию $X$ подчинена нормальному закону распределению с параметрами $a=50$ - математическое ожидание, $\sigma =10$ - стандартное отклонение. Вероятность $P\left(\alpha < X < \beta \right)$ попадания $X$ в интервал $\left(\alpha ,\ \beta \right)$ будем находить по формуле:

  $$P\left(\alpha < X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right).$$

  $$а)\ P\left(X>70\right)=\Phi \left({{\infty -50}\over {10}}\right)-\Phi \left({{70-50}\over {10}}\right)=0,5-\Phi \left(2\right)=0,5-0,4772=0,0228.$$

  $$б)\ P\left(X < 50\right)=\Phi \left({{50-50}\over {10}}\right)-\Phi \left({{-\infty -50}\over {10}}\right)=\Phi \left(0\right)+0,5=0+0,5=0,5.$$

  $$в)\ P\left(45 < X < 58\right)=\Phi \left({{58-50}\over {10}}\right)-\Phi \left({{45-50}\over {10}}\right)=\Phi \left(0,8\right)-\Phi \left(-0,5\right)=\Phi \left(0,8\right)+\Phi \left(0,5\right)=$$

  Определение. Нормальным называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью вероятности

  Нормальный закон распределения также называется законом Гаусса .

  Нормальный закон распределения занимает центральное место в теории вероятностей. Это обусловлено тем, что этот закон проявляется во всех случаях, когда случайная величина является результатом действия большого числа различных факторов. К нормальному закону приближаются все остальные законы распределения.

  Можно легко показать, что параметры и , входящие в плотность распределения являются соответственно математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением случайной величины Х.

  Найдем функцию распределения F(x) .

  

  График плотности нормального распределения называется нормальной кривой или кривой Гаусса .

  Нормальная кривая обладает следующими свойствами:

  1) Функция определена на всей числовой оси.

  2) При всех х функция распределения принимает только положительные значения.

  3) Ось ОХ является горизонтальной асимптотой графика плотности вероятности, т.к. при неограниченном возрастании по абсолютной величине аргумента х , значение функции стремится к нулю.

  4) Найдем экстремум функции.

  

  Т.к. при y’ > 0 при x < m и y’ < 0 при x > m , то в точке х = т функция имеет максимум, равный .

  5) Функция является симметричной относительно прямой х = а , т.к. разность

  (х – а ) входит в функцию плотности распределения в квадрате.

  6) Для нахождения точек перегиба графика найдем вторую производную функции плотности.

  

  При x = m + s и x = m - s вторая производная равна нулю, а при переходе через эти точки меняет знак, т.е. в этих точках функция имеет перегиб.

  В этих точках значение функции равно .

  Построим график функции плотности распределения.

  

  Построены графики при т =0 и трех возможных значениях среднего квадратичного отклонения s = 1, s = 2 и s = 7. Как видно, при увеличении значения среднего квадратичного отклонения график становится более пологим, а максимальное значение уменьшается..

  Если а > 0, то график сместится в положительном направлении, если а < 0 – в отрицательном.

  При а = 0 и s = 1 кривая называется нормированной . Уравнение нормированной кривой:

  Для краткости говорят, что СВ Х подчиняется закону N(m, s), т.е. Х ~ N(m, s). Параметры m и s совпадают с основными характеристиками распределения: m = m X , s = s Х = . Если СВ Х ~ N(0, 1), то она называется стандартизованной нормальной величиной . ФР стандартизованной нормальной величиной называется функцией Лапласа и обозначается как Ф(x) . С ее помощью можно вычислять интервальные вероятности для нормального распределения N(m, s):

  P(x 1 £ X < x 2) = Ф - Ф .

  При решении задач на нормальное распределение часто требуется использовать табличные значения функции Лапласа. Поскольку для функции Лапласа справедливо соотношение Ф(-х) = 1 - Ф(х) , то достаточно иметь табличные значения функции Ф(х) только для положительных значений аргумента.

  Для вероятности попадания на симметричный относительно математического ожидания интервал справедлива формула: P(|X - m X | < e) = 2×Ф(e/s) - 1.

  Центральные моменты нормального распределения удовлетворяют рекуррентному соотношению: m n +2 = (n+1)s 2 m n , n = 1, 2, ... . Отсюда следует, что все центральные моменты нечетного порядка равны нулю (так как m 1 = 0).

  Найдем вероятность попадания случайной величины, распределенной по нормальному закону, в заданный интервал.

  

  Обозначим

  Т.к. интеграл не выражается через элементарные функции, то вводится в рассмотрение функция

  ,

  которая называется функцией Лапласа или интегралом вероятностей .

  Значения этой функции при различных значениях х посчитаны и приводятся в специальных таблицах.

  Ниже показан график функции Лапласа.

  

  Функция Лапласа обладает следующими свойствами:

  2) Ф(-х ) = - Ф(х );

  Функцию Лапласа также называют функцией ошибок и обозначают erf x .

  Еще используется нормированная функция Лапласа, которая связана с функцией Лапласа соотношением:

  

  Ниже показан график нормированной функции Лапласа.

  

  При рассмотрении нормального закона распределения выделяется важный частный случай, известный как правило трех сигм .

  Запишем вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины от математического ожидания меньше заданной величины D:

  Если принять D = 3s, то получаем с использованием таблиц значений функции Лапласа:

  Т.е. вероятность того, что случайная величина отклонится от своего математического ожидание на величину, большую чем утроенное среднее квадратичное отклонение, практически равна нулю.

  Это правило называется правилом трех сигм .

  Не практике считается, что если для какой – либо случайной величины выполняется правило трех сигм, то эта случайная величина имеет нормальное распределение.

  Пример. Поезд состоит из 100 вагонов. Масса каждого вагона – случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожидание а = 65 т и средним квадратичным отклонением s = 0,9 т. Локомотив может везти состав массой не более 6600 т, в противном случае необходимо прицеплять второй локомотив. Найти вероятность того, что второй локомотив не потребуется.

  Второй локомотив не потребуется, если отклонение массы состава от ожидаемого (100×65 = 6500) не превосходит 6600 – 6500 = 100 т.

  Т.к. масса каждого вагона имеет нормальное распределение, то и масса всего состава тоже будет распределена нормально.

  Получаем:

  Пример. Нормально распределенная случайная величина Х задана своими параметрами – а =2 – математическое ожидание и s = 1 – среднее квадратическое отклонение. Требуется написать плотность вероятности и построить ее график, найти вероятность того, Х примет значение из интервала (1; 3), найти вероятность того, что Х отклонится (по модулю) от математического ожидания не более чем на 2.

  Плотность распределения имеет вид:

  

  Построим график:

  

  Найдем вероятность попадания случайной величины в интервал (1; 3).

  Найдем вероятность отклонение случайной величины от математического ожидания на величину, не большую чем 2.

  Тот же результат может быть получен с использованием нормированной функции Лапласа.

  Лекция 8 Закон больших чисел (Раздел 2)

  План лекции

  Центральная предельная теорема (общая формулировка и частная формулировка для независимых одинаково распределенных случайных величин).

  Неравенство Чебышева.

  Закон больших чисел в форме Чебышева.

  Понятие частоты события.

  Статистическое понимание вероятности.

  Закон больших чисел в форме Бернулли.

  Изучение статистических закономерностей позволило установить, что при некоторых условиях суммарное поведение большого количества случайных величин почти утрачивает случайный характер и становится закономерным (иначе говоря, случайные отклонения от некоторого среднего поведения взаимно погашаются). В частности, если влияние на сумму отдельных слагаемых является равномерно малым, закон распределения суммы приближается к нормальному. Математическая формулировка этого утверждения дается в группе теорем, называемой законом больших чисел .

  ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ – общий принцип, в силу которого совместное действие случайных факторов приводит при некоторых весьма общих условиях к результату, почти не зависящему от случая. Первым примером действия этого принципа может служить сближение частоты наступления случайного события с его вероятностью при возрастании числа испытаний (часто использующееся на практике, например, при использовании частоты встречаемости какого-либо качества респондента в выборке как выборочной оценки соответствующей вероятности).

  Сущность закона больших чисел состоит в том, что при большом числе независимых опытов частота появления какого-то события близка к его вероятности.

  Центральная предельная теорема (ЦПТ) (в формулировке Ляпунова А.М. для одинаково распределенных СВ). Если попарно независимые СВ X 1 , X 2 , ..., X n , ... имеют одинаковый закон распределения с конечными числовыми характеристиками M = m и D = s 2 , то при n ® ¥ закон распределения СВ неограниченно приближается к нормальному закону N(n×m, ).

  Следствие. Если в условии теоремы СВ , то при n ® ¥ закон распределения СВ Y неограниченно приближается к нормальному закону N(m, s/ ).

  Теорема Муавра-Лапласа. Пусть СВ К - число “успехов” в n испытаниях по схеме Бернулли. Тогда при n ® ¥ и фиксированном значении вероятности “успеха” в одном испытании p закон распределения СВ K неограниченно приближается к нормальному закону N(n×p, ).

  Следствие. Если в условии теоремы вместо СВ К рассмотреть СВ К/n - частоту “успехов” в n испытаниях по схеме Бернулли, то ее закон распределения при n ® ¥ и фиксированном значении p неограниченно приближается к нормальному закону N(p, ).

  Замечание. Пусть СВ К - число “успехов” в n испытаниях по схеме Бернулли. Законом распределения такой СВ является биноминальный закон. Тогда при n ® ¥ биноминальный закон имеет два предельных распределения:

  n распределение Пуассона (при n ® ¥ и l = n×p = const);

  n распределение Гаусса N(n×p, ) (при n ® ¥ и p = const).

  Пример. Вероятность “успеха” в одном испытании всего лишь p = 0,8. Сколько нужно провести испытаний, чтобы с вероятностью не менее 0,9 можно ожидать, что наблюдаемая частота “успеха” в испытаниях по схеме Бернулли отклонится от вероятности p не более чем на e = 0,01?

  Решение. Для сравнения решим задачу двумя способами.